MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2vmadivsumlem Unicode version

Theorem 2vmadivsumlem 20689
Description: Lemma for 2vmadivsum 20690. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2vmadivsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2vmadivsum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
Assertion
Ref Expression
2vmadivsumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    i, m, n, x, y, A    ph, m, n, x
Allowed substitution hints:    ph( y, i)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem
StepHypRef Expression
1 vmalogdivsum2 20687 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
3 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 10819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
54adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
6 vmacl 20356 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
87, 5nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
9 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
10 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
12 vmacl 20356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1413, 11nndivred 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  /  m
)  e.  RR )
159, 14fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  RR )
168, 15remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  RR )
173, 16fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  RR )
18 elioore 10686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1918adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
20 eliooord 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2120adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2221simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
2319, 22rplogcld 19980 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2417, 23rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
25 1rp 10358 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
2625a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
2726rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
2827, 19, 22ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
2919, 26, 28rpgecld 10425 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
3029relogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3130rehalfcld 9958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
3224, 31resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  RR )
3332recnd 8861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
3429adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
355nnrpd 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3634, 35rpdivcld 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3736relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
388, 37remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
393, 38fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
4039, 23rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4140, 31resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
4241recnd 8861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
4317recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
4439recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
4530recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
4623rpne0d 10395 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4743, 44, 45, 46divsubdird 9575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
488recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
4915recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  CC )
5037recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
5148, 49, 50subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5251sumeq2dv 12176 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5316recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  CC )
5438recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
553, 53, 54fsumsub 12250 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5652, 55eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
5756oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )
5824recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
5940recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6031recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6158, 59, 60nnncan2d 9192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
6362mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) ) )
64 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6564a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
663, 8fsumrecl 12207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
6766, 23rerpdivcld 10417 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
68 2vmadivsum.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6968rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
71 ioossre 10712 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
7265recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
73 o1const 12093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
7471, 72, 73sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
7567recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7627recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
7766recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
7877, 45, 45, 46divsubdird 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
7977, 45subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
8079, 45, 46divrecd 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
8145, 46dividd 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8378, 80, 823eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8483mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  -  1 ) ) )
8566, 30resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
8627, 23rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8729ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
8887ssrdv 3185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR+ )
89 vmadivsum 20631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
9089a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9188, 90o1res2 12037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
92 divlogrlim 19982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
93 rlimo1 12090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9492, 93mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9585, 86, 91, 94o1mul2 12098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9684, 95eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O
( 1 ) )
9775, 76, 96o1dif 12103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) ) )
9874, 97mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9969recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
100 o1const 12093 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O ( 1 ) )
10171, 99, 100sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O
( 1 ) )
10267, 70, 98, 101o1mul2 12098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )  e.  O
( 1 ) )
10367, 70remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
)  e.  RR )
10415, 37resubcld 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
1058, 104remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1063, 105fsumrecl 12207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
107106recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
108107, 45, 46divcld 9536 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  e.  CC )
109107abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
11066, 70remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
111105recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
112111abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1133, 112fsumrecl 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1143, 111fsumabs 12259 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )
11570adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
1168, 115remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
117104recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
11848, 117absmuld 11936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
119 vmage0 20359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
1205, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
1217, 35, 120divge0d 10426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
1228, 121absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
123122oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
124118, 123eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
125117abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12636rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1275nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
128127mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
129 fznnfl 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
13019, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
131130simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
132128, 131eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
13364a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
13419adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
135133, 134, 35lemuldivd 10435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
136132, 135mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
137 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) ) )
13864, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) )
139126, 136, 138sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
140 2vmadivsum.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
141140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
142 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  (Λ `  i )  =  (Λ `  m ) )
143 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
144142, 143oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  m  ->  (
(Λ `  i )  / 
i )  =  ( (Λ `  m )  /  m ) )
145144cbvsumv 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )
146 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )
147146oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )
148147sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
149145, 148syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
150 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
x  /  n ) ) )
151149, 150oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )
152151fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  -  ( log `  y
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
153152breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  A ) )
154153rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  A )
)
155139, 141, 154sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  A )
156125, 115, 8, 121, 155lemul2ad 9697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
157124, 156eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
1583, 112, 116, 157fsumle 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
15999adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  CC )
1603, 159, 48fsummulc1 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
161158, 160breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
) )
162109, 113, 110, 114, 161letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
163109, 110, 23, 162lediv1dd 10444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A )  /  ( log `  x
) ) )
164107, 45, 46absdivd 11937 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
16523rpge0d 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
16630, 165absidd 11905 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
167166oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
168164, 167eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
1693, 8, 121fsumge0 12253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
17066, 23, 169divge0d 10426 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )
17168adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
172171rpge0d 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  A )
17367, 70, 170, 172mulge0d 9349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
174103, 173absidd 11905 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
17577, 159, 45, 46div23d 9573 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
176174, 175eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) ) )
177163, 168, 1763brtr4d 4053 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
178177adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
17965, 102, 103, 108, 178o1le 12126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
18063, 179eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
18133, 42, 180o1dif 12103 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1822, 181mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   O ( 1 )co1 11960   sum_csu 12158   logclog 19912  Λcvma 20329
This theorem is referenced by:  2vmadivsum  20690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337
  Copyright terms: Public domain W3C validator