MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2vmadivsumlem Unicode version

Theorem 2vmadivsumlem 20705
Description: Lemma for 2vmadivsum 20706. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2vmadivsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2vmadivsum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
Assertion
Ref Expression
2vmadivsumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    i, m, n, x, y, A    ph, m, n, x
Allowed substitution hints:    ph( y, i)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem
StepHypRef Expression
1 vmalogdivsum2 20703 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
3 fzfid 11051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 10835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
54adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
6 vmacl 20372 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
87, 5nndivred 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
9 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
10 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
12 vmacl 20372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1413, 11nndivred 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  /  m
)  e.  RR )
159, 14fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  RR )
168, 15remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  RR )
173, 16fsumrecl 12223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  RR )
18 elioore 10702 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1918adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
20 eliooord 10726 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2120adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2221simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
2319, 22rplogcld 19996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2417, 23rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
25 1rp 10374 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
2625a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
2726rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
2827, 19, 22ltled 8983 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
2919, 26, 28rpgecld 10441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
3029relogcld 19990 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3130rehalfcld 9974 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
3224, 31resubcld 9227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  RR )
3332recnd 8877 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
3429adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
355nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3634, 35rpdivcld 10423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3736relogcld 19990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
388, 37remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
393, 38fsumrecl 12223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
4039, 23rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4140, 31resubcld 9227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
4241recnd 8877 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
4317recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
4439recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
4530recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
4623rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4743, 44, 45, 46divsubdird 9591 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
488recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
4915recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  CC )
5037recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
5148, 49, 50subdid 9251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5251sumeq2dv 12192 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5316recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  CC )
5438recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
553, 53, 54fsumsub 12266 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5652, 55eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
5756oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )
5824recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
5940recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6031recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6158, 59, 60nnncan2d 9208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
6362mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) ) )
64 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6564a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
663, 8fsumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
6766, 23rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
68 2vmadivsum.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6968rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
71 ioossre 10728 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
7265recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
73 o1const 12109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
7471, 72, 73sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
7567recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7627recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
7766recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
7877, 45, 45, 46divsubdird 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
7977, 45subcld 9173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
8079, 45, 46divrecd 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
8145, 46dividd 9550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8378, 80, 823eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8483mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  -  1 ) ) )
8566, 30resubcld 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
8627, 23rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8729ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
8887ssrdv 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR+ )
89 vmadivsum 20647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
9089a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9188, 90o1res2 12053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
92 divlogrlim 19998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
93 rlimo1 12106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9492, 93mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9585, 86, 91, 94o1mul2 12114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9684, 95eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O
( 1 ) )
9775, 76, 96o1dif 12119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) ) )
9874, 97mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9969recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
100 o1const 12109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O ( 1 ) )
10171, 99, 100sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O
( 1 ) )
10267, 70, 98, 101o1mul2 12114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )  e.  O
( 1 ) )
10367, 70remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
)  e.  RR )
10415, 37resubcld 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
1058, 104remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1063, 105fsumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
107106recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
108107, 45, 46divcld 9552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  e.  CC )
109107abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
11066, 70remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
111105recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
112111abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1133, 112fsumrecl 12223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1143, 111fsumabs 12275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )
11570adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
1168, 115remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
117104recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
11848, 117absmuld 11952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
119 vmage0 20375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
1205, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
1217, 35, 120divge0d 10442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
1228, 121absidd 11921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
123122oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
124118, 123eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
125117abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12636rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1275nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
128127mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
129 fznnfl 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
13019, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
131130simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
132128, 131eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
13364a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
13419adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
135133, 134, 35lemuldivd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
136132, 135mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
137 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) ) )
13864, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) )
139126, 136, 138sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
140 2vmadivsum.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
141140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
142 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  (Λ `  i )  =  (Λ `  m ) )
143 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
144142, 143oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  m  ->  (
(Λ `  i )  / 
i )  =  ( (Λ `  m )  /  m ) )
145144cbvsumv 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )
146 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )
147146oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )
148147sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
149145, 148syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
150 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
x  /  n ) ) )
151149, 150oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )
152151fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  -  ( log `  y
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
153152breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  A ) )
154153rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  A )
)
155139, 141, 154sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  A )
156125, 115, 8, 121, 155lemul2ad 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
157124, 156eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
1583, 112, 116, 157fsumle 12273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
15999adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  CC )
1603, 159, 48fsummulc1 12263 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
161158, 160breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
) )
162109, 113, 110, 114, 161letrd 8989 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
163109, 110, 23, 162lediv1dd 10460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A )  /  ( log `  x
) ) )
164107, 45, 46absdivd 11953 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
16523rpge0d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
16630, 165absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
167166oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
168164, 167eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
1693, 8, 121fsumge0 12269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
17066, 23, 169divge0d 10442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )
17168adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
172171rpge0d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  A )
17367, 70, 170, 172mulge0d 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
174103, 173absidd 11921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
17577, 159, 45, 46div23d 9589 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
176174, 175eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) ) )
177163, 168, 1763brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
178177adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
17965, 102, 103, 108, 178o1le 12142 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
18063, 179eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
18133, 42, 180o1dif 12119 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1822, 181mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   O ( 1 )co1 11976   sum_csu 12174   logclog 19928  Λcvma 20345
This theorem is referenced by:  2vmadivsum  20706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-em 20303  df-cht 20350  df-vma 20351  df-chp 20352  df-ppi 20353
  Copyright terms: Public domain W3C validator