MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Unicode version

Theorem 37prm 13122
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 9882 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 10137 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 9988 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 9984 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 10138 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 9987 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 9924 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 9883 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 9928 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 10149 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 10146 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 9878 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 9930 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 10149 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 9872 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 9809 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 13078 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 9982 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 10138 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 9757 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 9986 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 9851 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 9818 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 8839 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 8999 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 10140 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 10172 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 10147 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 9888 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 9877 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 9894 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 9860 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 13080 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 9985 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 10209 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 10168 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 9905 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 9879 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 10140 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 8987 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 9756 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 9858 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 10140 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 9927 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 10149 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 9816 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 8840 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 8999 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 10171 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 9847 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 10165 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 10145 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 10140 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 9839 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 10206 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 10168 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 10149 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 9884 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 9989 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 9756 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 8839 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 9840 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 10192 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 10166 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 9914 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 10145 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 10137 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 9756 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 8839 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 10165 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 9886 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 10146 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 13121 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802  ;cdc 10124   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  1259prm  13134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator