MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Unicode version

Theorem 37prm 13138
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 9999 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 9898 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 10153 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 10004 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 10000 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 10154 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 10003 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 9997 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 9940 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 9899 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 9944 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 10165 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 10162 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 9894 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 9946 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 10165 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 9888 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 9825 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 13094 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 9998 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 10154 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 9773 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 10002 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 9867 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2296 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 9996 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 9834 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 8855 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 5884 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 9015 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 10156 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 10188 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 10163 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 9904 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 12625 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 9893 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 9910 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 9876 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 13096 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 10001 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 10225 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 10184 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 9921 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 12625 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 9895 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 10156 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 8856 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 9003 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 5884 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 9772 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 9874 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9020 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 10156 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 10179 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 9943 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 10165 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2296 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 9832 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 8856 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 5884 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 9015 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 10187 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 9863 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 10181 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 10161 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 10156 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 9855 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 10222 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 10184 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 10179 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 10165 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 9900 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 10005 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 9772 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 8855 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 9856 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 10208 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 10182 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 9930 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 10161 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 10153 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 10153 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 9772 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 8855 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2296 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 10181 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 9902 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 10162 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 12625 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 13137 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   7c7 9816   8c8 9817   9c9 9818  ;cdc 10140   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  1259prm  13150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator