Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem2 Unicode version

Theorem 3atlem2 30295
Description: Lemma for 3at 30301. (Contributed by NM, 22-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem2
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
2 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 30175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp121 1087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  e.  A )
6 simp122 1088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  e.  A )
7 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 3at.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 3at.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
112, 5, 6, 10syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
12 simp123 1089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  e.  A )
137, 9atbase 30101 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
15 simp131 1090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  S  e.  A )
16 simp132 1091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  T  e.  A )
177, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
182, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( S  .\/  T )  e.  (
Base `  K )
)
19 simp133 1092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  U  e.  A )
207, 9atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  A  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
227, 8latjcl 14172 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  U  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) )
234, 18, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) )
24 3at.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
257, 24, 8latjle12 14184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  /\  R  .<_  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) ) )
264, 11, 14, 23, 25syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .<_  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  /\  R  .<_  ( ( S  .\/  T
)  .\/  U )
)  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) ) )
271, 26mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  /\  R  .<_  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
2827simprd 449 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  .<_  ( ( S  .\/  T
)  .\/  U )
)
298, 9hlatjass 30181 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) ) )
302, 15, 16, 19, 29syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( S 
.\/  ( T  .\/  U ) ) )
31 simp22r 1075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  .<_  ( T  .\/  U ) )
32 simp22l 1074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  =/=  U )
3324, 8, 9hlatexchb2 30205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
)  /\  P  =/=  U )  ->  ( P  .<_  ( T  .\/  U
)  <->  ( P  .\/  U )  =  ( T 
.\/  U ) ) )
342, 5, 16, 19, 32, 33syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .<_  ( T  .\/  U
)  <->  ( P  .\/  U )  =  ( T 
.\/  U ) ) )
3531, 34mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  U )  =  ( T  .\/  U ) )
3635oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( S  .\/  ( P  .\/  U
) )  =  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) ) )
3730, 36eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( S 
.\/  ( P  .\/  U ) ) )
388, 9hlatjass 30181 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  U  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  U )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  U ) ) )
392, 5, 6, 19, 38syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  U )  =  ( P 
.\/  ( Q  .\/  U ) ) )
408, 9hlatj12 30182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  U  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  U ) )  =  ( Q  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
412, 5, 6, 19, 40syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  U
) )  =  ( Q  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
428, 9hlatj32 30183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
432, 5, 6, 12, 42syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  Q ) )
441, 43, 303brtr3d 4068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  R )  .\/  Q )  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U
) ) )
457, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( P  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
462, 5, 12, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
477, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
486, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
497, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
5015, 49syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  S  e.  ( Base `  K )
)
517, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
522, 16, 19, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
537, 8latjcl 14172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) )  e.  (
Base `  K )
)
544, 50, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( S  .\/  ( T  .\/  U
) )  e.  (
Base `  K )
)
557, 24, 8latjle12 14184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
)  /\  ( S  .\/  ( T  .\/  U
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( P  .\/  R )  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U
) )  /\  Q  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q )  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U
) ) ) )
564, 46, 48, 54, 55syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( (
( P  .\/  R
)  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) )  /\  Q  .<_  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q )  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U
) ) ) )
5744, 56mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  R )  .<_  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) )  /\  Q  .<_  ( S 
.\/  ( T  .\/  U ) ) ) )
5857simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  .<_  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) ) )
5958, 36breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  .<_  ( S  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
607, 8, 9hlatjcl 30178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
612, 5, 19, 60syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
62 simp23 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
637, 24, 8, 9hlexchb2 30196 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  S  e.  A  /\  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  ->  ( Q  .<_  ( S  .\/  ( P 
.\/  U ) )  <-> 
( Q  .\/  ( P  .\/  U ) )  =  ( S  .\/  ( P  .\/  U ) ) ) )
642, 6, 15, 61, 62, 63syl131anc 1195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .<_  ( S  .\/  ( P  .\/  U ) )  <-> 
( Q  .\/  ( P  .\/  U ) )  =  ( S  .\/  ( P  .\/  U ) ) ) )
6559, 64mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  U
) )  =  ( S  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
6639, 41, 653eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  U )  =  ( S 
.\/  ( P  .\/  U ) ) )
6737, 66eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  U ) )
6828, 67breqtrd 4063 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  U )
)
69 simp21 988 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
707, 24, 8, 9hlexchb1 30195 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  U  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  U )  <->  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  U ) ) )
712, 12, 19, 11, 69, 70syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  U )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  U ) ) )
7268, 71mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  U ) )
7372, 67eqtr4d 2331 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( P  =/= 
U  /\  P  .<_  ( T  .\/  U ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  3atlem3  30296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator