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Theorem 3cyclfrgrarn1 28339
Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrarn1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    b, c, A    E, c, b    V, c, b
Allowed substitution hints:    C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1
Dummy variables  a  x  z  u  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgrarn2 28337 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
2 necom 2679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( C  e.  V  /\  C  =/= 
A ) )
43simplbi2com 1383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =/=  A  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
52, 4sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
65com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  V  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
76adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
87imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) )
9 sneq 3817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
109difeq2d 3457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { A }
) )
11 preq1 3875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  A  ->  { a ,  x }  =  { A ,  x }
)
1211eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  ( { a ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
1312anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E ) ) )
14 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  x  <->  A  =/=  x ) )
1514anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
1613, 15anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <-> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1716rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1810, 17raleqbidv 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1918rspcv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
22 preq2 3876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  { x ,  z }  =  { x ,  C } )
2322eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( { x ,  z }  e.  ran  E  <->  { x ,  C }  e.  ran  E ) )
2423anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E ) ) )
25 neeq2 2607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
x  =/=  z  <->  x  =/=  C ) )
2625anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( A  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/= 
C ) ) )
2724, 26anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2827rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2928rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
308, 21, 29sylsyld 54 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
31 2pthfrgrarn 28336 . . . . . . . . . 10  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) )
32 necom 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =/=  x  <->  x  =/=  A )
33 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  A ) )
3433simplbi2com 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =/=  A  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3532, 34sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  =/=  x  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
3736imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) )
38 sneq 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  { u }  =  { A } )
3938difeq2d 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( V  \  { u }
)  =  ( V 
\  { A }
) )
40 preq1 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  A  ->  { u ,  y }  =  { A ,  y } )
4140eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  A  ->  ( { u ,  y }  e.  ran  E  <->  { A ,  y }  e.  ran  E ) )
4241anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  (
( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4342rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
) ) )
4439, 43raleqbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  A  ->  ( A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4544rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
48 preq2 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  x  ->  { y ,  v }  =  { y ,  x } )
4948eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  x  ->  ( { y ,  v }  e.  ran  E  <->  { y ,  x }  e.  ran  E ) )
5049anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  x  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5150rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  x  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5251rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5337, 47, 52sylsyld 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
54 prcom 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { A ,  y }  =  { y ,  A }
5554eleq1i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { A ,  y }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E )
56 prcom 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  x }  =  { x ,  y }
5756eleq1i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E )
5855, 57anbi12ci 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
59 preq2 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { A ,  b }  =  { A ,  x }
)
6059eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { A ,  b }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
61 preq1 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { b ,  c }  =  { x ,  c } )
6261eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { b ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  c }  e.  ran  E ) )
63 biidd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
6460, 62, 633anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  x  ->  (
( { A , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 biidd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
66 preq2 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { x ,  c }  =  { x ,  y } )
6766eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
68 preq1 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { c ,  A }  =  { y ,  A } )
6968eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
7065, 67, 693anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) ) )
7164, 70rspc2ev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
72713expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
7372expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
74733expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7558, 74syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7776com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7877rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  V  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7978com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
8053, 79syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8180exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  x  ->  ( A  e.  V  ->  ( x  e.  V  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8281com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =/=  x  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C )  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8483impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8584com15 89 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8685pm2.43i 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8786com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9089com4t 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9131, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) )  ->  (
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9291com14 84 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9392rexlimiv 2816 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9430, 93syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9594pm2.43a 47 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9695ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9796com4t 81 . . 3  |-  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
981, 97mpcom 34 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
99983imp 1147 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309   {csn 3806   {cpr 3807   class class class wbr 4204   ran crn 4871   FriendGrph cfrgra 28315
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  28340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-usgra 21359  df-frgra 28316
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