Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Unicode version

Theorem 3dim1 30338
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom  P. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    r, q,
s, A    .\/ , r, s, q    .<_ , q, r, s    P, q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r, q)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables  u  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim0 30328 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )
54adantr 453 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
71, 2, 33dimlem1 30329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )
873ad2antl3 1122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  u )  .\/  v ) ) )
91, 2, 33dim1lem5 30337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
106, 8, 9syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
11 simp13 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  e.  A )
12 simp22 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
13 simp23 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
1411, 12, 133jca 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
1514ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
16 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
17 simp21 991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
18 simp32 995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) )
19 simp33 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
2017, 18, 193jca 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
22 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  =/=  t )
23 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( t  .\/  u
) )
241, 2, 33dimlem2 30330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
261, 2, 33dim1lem5 30337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2811, 17, 133jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
2928ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
30 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )
)
3117, 12jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
32 simp31 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  =/=  u )
3332, 19jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
3430, 31, 333jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
3534ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
36 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  t
)
37 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
391, 2, 33dimlem3 30332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t ) 
.\/  u ) ) )
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
411, 2, 33dim1lem5 30337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4229, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4311, 17, 123jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
4443ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
45 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
46 simpl21 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  u  e.  A
)
47 simpl22 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  v  e.  A
)
4846, 47jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
49 simpl31 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  t  =/=  u
)
50 simpl32 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t  .\/  u ) )
5149, 50jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
5245, 48, 513jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
54 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
55 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )
561, 2, 33dimlem4 30335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
581, 2, 33dim1lem5 30337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
5944, 57, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6042, 59pm2.61dan 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6160anassrs 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6227, 61pm2.61dan 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6310, 62pm2.61dane 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
64633exp 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
65643expd 1171 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) )
66653exp 1153 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( P  e.  A  ->  ( t  e.  A  -> 
( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) ) ) )
6766imp43 580 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) )
6867imp3a 422 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2838 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7069rexlimdvva 2839 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  ( E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
715, 70mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   lecple 13541   joincjn 14406   Atomscatm 30135   HLchlt 30222
This theorem is referenced by:  3dim2  30339  2dim  30341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223
  Copyright terms: Public domain W3C validator