Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Unicode version

Theorem 3dim2 29657
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, A    .\/ , r, s    .<_ , r, s    P, r, s    Q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim1 29656 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
543adant2 974 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl21 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  u  e.  A )
7 simpl22 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  v  e.  A )
8 simp31 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  Q  =/=  u )
98necomd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  =/=  Q )
109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  u  =/=  Q )
11 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
12 simp11 985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  K  e.  HL )
13 simp13 987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  Q  e.  A )
141, 3hlatjidm 29558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  .\/  Q
)  =  Q )
1611, 15sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( P  .\/  Q )  =  Q )
1716breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
u  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  u  .<_  Q ) )
1817notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  u  .<_  Q ) )
19 hlatl 29550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
2012, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  K  e.  AtLat )
21 simp21 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
222, 3atncmp 29502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  u  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  u  .<_  Q  <->  u  =/=  Q ) )
2320, 21, 13, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( -.  u  .<_  Q  <-> 
u  =/=  Q ) )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  Q  <->  u  =/=  Q ) )
2518, 24bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  u  =/=  Q ) )
2610, 25mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) )
27 simpl32 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u ) )
2816oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  u )  =  ( Q  .\/  u ) )
2928breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  v  .<_  ( Q  .\/  u ) ) )
3027, 29mtbird 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u ) )
31 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
3231notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
33 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  u  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u ) )
3433breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
3534notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
3632, 35anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  u  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
37 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  v  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
3837notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u )  <->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
3938anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
4036, 39rspc2ev 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
42 simp22 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
43 simp23 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
4442, 43jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
46 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
47 simp32 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) )
48 simp33 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )
4921, 47, 483jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
5049ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
51 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  P  =/=  Q )
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )
531, 2, 33dimlem2 29648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
55 3simpc 954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v ) )  ->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v ) ) )
57 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  v  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
5857notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  v  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
59 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  v  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  v ) )
6059breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )
6160notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
6258, 61anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  v  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  <->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) ) )
63 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  v )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )
6463notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
6564anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) )  <->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) ) )
6662, 65rspc2ev 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  A  /\  w  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
67663expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
6845, 56, 67syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
6921, 43jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
7069ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
71 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
7221, 42jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
738, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
7471, 72, 733jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
7574ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
76 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  Q
)
77 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )
78 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )
791, 2, 33dimlem3 29650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) ) )
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
81 3simpc 954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
83 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
8483notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
8584anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
8636, 85rspc2ev 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
87863expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
8870, 82, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
8972ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
908, 47jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) )
9171, 72, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) ) )
9291ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) ) )
93 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  P  =/=  Q )
94 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )
95 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )
961, 2, 33dimlem4 29653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
98 3simpc 954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
100403expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10189, 99, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10288, 101pm2.61dan 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10368, 102pm2.61dan 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10441, 103pm2.61dane 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
1051043exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) )
1061053expd 1168 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) ) ) )
107106imp32 422 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) )
108107rexlimdv 2666 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  ( E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) )
109108rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) )
1105, 109mpd 14 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  3dim3  29658  lhp2lt  30190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
  Copyright terms: Public domain W3C validator