Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Unicode version

Theorem 3dim3 29658
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
Distinct variable groups:    A, s    .\/ , s    .<_ , s    P, s    Q, s    R, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim2 29657 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )
543adant3r1 1160 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )
6 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  v  e.  A )
7 simp3l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  R ) )
8 simp1l 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  K  e.  HL )
9 simp1r2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  Q  e.  A )
101, 3hlatjidm 29558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( Q  .\/  Q )  =  Q )
1211oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  (
( Q  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )
1312breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  (
v  .<_  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) )
147, 13mtbird 292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  -.  v  .<_  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R ) )
15 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
1615oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R ) )
1716breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  Q  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
1817notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  ( -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  v  .<_  ( ( Q  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
1918biimparc 473 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  v  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
2014, 19sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
21 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
2221notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( s  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
2322rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
246, 20, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
25 simp2l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  v  e.  A )
2625ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  v  e.  A )
277ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  R ) )
281, 3hlatjass 29559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
29283ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
31 hllat 29553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
328, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  K  e.  Lat )
33 simp1r1 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  P  e.  A )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3534, 3atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3633, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
37 simp1r3 1053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  R  e.  A )
3834, 1, 3hlatjcl 29556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
398, 9, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
4032, 36, 393jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )
4234, 2, 1latleeqj1 14169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q 
.\/  R ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q 
.\/  R ) ) )
4443biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q  .\/  R ) )
4530, 44eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )
4645breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) )
4727, 46mtbird 292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
4826, 47, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
49 simpl2r 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  w  e.  A )
5049ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  w  e.  A )
518, 33, 93jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
5251ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
5337, 25jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( R  e.  A  /\  v  e.  A )
)
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  ( R  e.  A  /\  v  e.  A ) )
55 simpl3r 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )
5655ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )
57 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )
58 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
)
591, 2, 33dimlem3a 29649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  w  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
6052, 54, 56, 57, 58, 59syl113anc 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
61 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
6261notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
6362rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  A  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
6450, 60, 63syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
65 simpl2l 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  v  e.  A )
6665ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  -> 
v  e.  A )
6751ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
6853ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  -> 
( R  e.  A  /\  v  e.  A
) )
69 simpl3l 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  R ) )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
71 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
72 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) )
731, 2, 33dimlem4a 29652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
7467, 68, 70, 71, 72, 73syl113anc 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
7566, 74, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
7664, 75pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
7748, 76pm2.61dan 766 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
7824, 77pm2.61dane 2524 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
79783exp 1150 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) ) )
8079rexlimdvv 2673 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
)  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
815, 80mpd 14 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  lvolex3N  29727  dalem18  29870  dvh4dimat  31628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
  Copyright terms: Public domain W3C validator