Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem4a Unicode version

Theorem 3dimlem4a 29711
Description: Lemma for 3dim3 29717. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dimlem4a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )

Proof of Theorem 3dimlem4a
StepHypRef Expression
1 simp33 994 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S ) )
2 simp11 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 29612 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp13 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  Q  e.  A )
6 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 3dim0.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
86, 7atbase 29538 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
10 simp2l 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  R  e.  A )
116, 7atbase 29538 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
13 simp12 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  P  e.  A )
146, 7atbase 29538 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
16 3dim0.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
176, 16latjrot 14416 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
184, 9, 12, 15, 17syl13anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
1918breq2d 4137 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
20 simp2r 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  S  e.  A )
216, 16latjcl 14366 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
224, 9, 12, 21syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
23 simp31 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R ) )
24 3dim0.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
256, 24, 16, 7hlexch1 29630 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  S  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  ( S  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  P )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
262, 20, 13, 22, 23, 25syl131anc 1196 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )
2719, 26sylbird 226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )
281, 27mtod 168 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   joincjn 14288   Latclat 14361   Atomscatm 29512   HLchlt 29599
This theorem is referenced by:  3dimlem4  29712  3dim3  29717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-lub 14318  df-join 14320  df-lat 14362  df-ats 29516  df-atl 29547  df-cvlat 29571  df-hlat 29600
  Copyright terms: Public domain W3C validator