Theorem 3ecoptocl 4305

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	|- S = ((D X. D)/.R)
3ecoptocl.2	|- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
3ecoptocl.3	|- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3ecoptocl.4	|- ([<.v, u>.]R = C -> (ch <-> th))
3ecoptocl.5	|- (((x e. D /\ y e. D) /\ (z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	|- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> th)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   z,B,w,v,u   v,C,u   x,D,y,z,w,v,u   z,S,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   ps,x,y   ch,z,w   th,v,u

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 |- S = ((D X. D)/.R)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 |- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3	2	imbi2d 612	. . . 4 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((A e. S -> ps) <-> (A e. S -> ch)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 |- ([<.v, u>.]R = C -> (ch <-> th))
5	4	imbi2d 612	. . . 4 |- ([<.v, u>.]R = C -> ((A e. S -> ch) <-> (A e. S -> th)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 |- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
7	6	imbi2d 612	. . . . . 6 |- ([<.x, y>.]R = A -> ((((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph) <-> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ps)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 |- (((x e. D /\ y e. D) /\ (z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph)
9	8	3expib 836	. . . . . 6 |- ((x e. D /\ y e. D) -> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph))
10	1, 7, 9	ecoptocl 4303	. . . . 5 |- (A e. S -> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ps))
11	10	com12 11	. . . 4 |- (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> (A e. S -> ps))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 4304	. . 3 |- ((B e. S /\ C e. S) -> (A e. S -> th))
13	12	com12 11	. 2 |- (A e. S -> ((B e. S /\ C e. S) -> th))
14	13	3impib 831	1 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> th)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168  [cec 4259  /.cqs 4260

This theorem is referenced by:  ecoprass 4320  ecoprdi 4321  ltsopq 5075  ltapq 5076  ltmpq 5077  ltsosr 5203  ltasr 5209

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-ec 4263  df-qs 4266

Copyright terms: Public domain