MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Unicode version

Theorem 3nn 9878
Description: 3 is a natural number. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn  |-  3  e.  NN

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 9805 . 2  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2 2nn 9877 . . 3  |-  2  e.  NN
3 peano2nn 9758 . . 3  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
2  +  1 )  e.  NN )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( 2  +  1 )  e.  NN
51, 4eqeltri 2353 1  |-  3  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796
This theorem is referenced by:  4nn  9879  3nn0  9983  expnass  11208  sqrlem7  11734  ef01bndlem  12464  sin01bnd  12465  sin01gt0  12470  egt2lt3  12484  rpnnen2lem2  12494  rpnnen2lem3  12495  rpnnen2lem4  12496  rpnnen2lem9  12501  rpnnen2lem11  12503  3dvds  12591  3prm  12775  5prm  13110  6nprm  13111  7prm  13112  9nprm  13114  11prm  13116  13prm  13117  17prm  13118  19prm  13119  23prm  13120  prmlem2  13121  37prm  13122  43prm  13123  83prm  13124  139prm  13125  163prm  13126  317prm  13127  631prm  13128  1259lem5  13133  2503lem1  13135  2503lem2  13136  2503lem3  13137  4001lem4  13142  4001prm  13143  mulrndx  13253  mulrid  13254  rngstr  13255  ressmulr  13261  lt6abl  15181  sramulr  15933  opsrmulr  16222  zlmmulr  16474  znmul  16495  tngmulr  18160  vitalilem4  18966  tangtx  19873  1cubrlem  20137  1cubr  20138  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  dcubic  20142  mcubic  20143  cubic2  20144  cubic  20145  quartlem3  20155  quart  20157  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem1  20242  log2ublem2  20243  log2ub  20245  ppiublem1  20441  ppiublem2  20442  ppiub  20443  chtub  20451  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem9  20531  lgsdir2lem3  20564  lgsdir2lem5  20566  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlema  20649  dchrvmasumiflem1  20650  mulog2sumlem2  20684  pntibndlem1  20738  pntibndlem2  20740  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntleml  20760  ex-cnv  20824  ex-rn  20827  ex-dvds  20835  sinccvglem  24005  axlowdimlem7  24576  axlowdimlem15  24584  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  bpoly4  24794  fsumcube  24795  cntrset  25602  fnckle  26045  rabren3dioph  26898  rmydioph  27107  rmxdioph  27109  expdiophlem2  27115  expdioph  27116  lhe4.4ex1a  27546  wallispilem4  27817  f1oun2prg  28076  usgraexvlem  28127  usgraex3elv  28131  usgraexmpldifpr  28132  usgraexmpl  28133  hlhilsmul  32134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805
  Copyright terms: Public domain W3C validator