Theorem 3oalem1 9602

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	|- B e. CH
3oalem1.2	|- C e. CH
3oalem1.3	|- R e. CH
3oalem1.4	|- S e. CH

Assertion

Ref	Expression
3oalem1	|- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~) /\ (z e. H~ /\ w e. H~)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,B   x,C,y,z,w,v   x,R,y,z,w,v   x,S,y,z,w,v

Proof of Theorem 3oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . 5 |- (v = (x +h y) -> (v e. H~ <-> (x +h y) e. H~))
2		hvaddclt 8877	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
3	1, 2	syl5cbir 211	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (v = (x +h y) -> v e. H~))
4	3	imdistani 445	. . 3 |- (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v = (x +h y)) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~))
5		3oalem1.1	. . . . 5 |- B e. CH
6	5	chel 9097	. . . 4 |- (x e. B -> x e. H~)
7		3oalem1.3	. . . . 5 |- R e. CH
8	7	chel 9097	. . . 4 |- (y e. R -> y e. H~)
9	6, 8	anim12i 333	. . 3 |- ((x e. B /\ y e. R) -> (x e. H~ /\ y e. H~))
10	4, 9	sylan 450	. 2 |- (((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~))
11		3oalem1.2	. . . . 5 |- C e. CH
12	11	chel 9097	. . . 4 |- (z e. C -> z e. H~)
13		3oalem1.4	. . . . 5 |- S e. CH
14	13	chel 9097	. . . 4 |- (w e. S -> w e. H~)
15	12, 14	anim12i 333	. . 3 |- ((z e. C /\ w e. S) -> (z e. H~ /\ w e. H~))
16	15	adantr 391	. 2 |- (((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w)) -> (z e. H~ /\ w e. H~))
17	10, 16	anim12i 333	1 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~) /\ (z e. H~ /\ w e. H~)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  CHcch 8793

This theorem is referenced by:  3oalem2 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sh 9071  df-ch 9087

Copyright terms: Public domain