Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Unicode version

Theorem 3polN 30081
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
3polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 29524 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2polss.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atssbase 29456 . . . . 5  |-  A  C_  ( Base `  K )
5 sstr 3292 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
64, 5mpan2 653 . . . 4  |-  ( S 
C_  A  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
7 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
82, 7clatlubcl 14460 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
91, 6, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
10 eqid 2380 . . . 4  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
11 eqid 2380 . . . 4  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
12 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
132, 10, 11, 12polpmapN 30077 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
149, 13syldan 457 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
157, 3, 11, 122polvalN 30079 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
1615fveq2d 5665 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) ) )
177, 10, 3, 11, 12polval2N 30071 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) ) )
1814, 16, 173eqtr4d 2422 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387   Basecbs 13389   occoc 13457   lubclub 14319   CLatccla 14456   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   pmapcpmap 29662   _|_ PcpolN 30067
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  30083  2pmaplubN  30091  pmapocjN  30095  poml5N  30119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-pmap 29669  df-polarityN 30068
  Copyright terms: Public domain W3C validator