MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3prm Unicode version

Theorem 3prm 12775
Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
3prm  |-  3  e.  Prime

Proof of Theorem 3prm
StepHypRef Expression
1 3nn 9878 . . . 4  |-  3  e.  NN
21nnzi 10047 . . 3  |-  3  e.  ZZ
3 1lt3 9888 . . 3  |-  1  <  3
4 eluz2b1 10289 . . 3  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  1  <  3 ) )
52, 3, 4mpbir2an 886 . 2  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
6 elfz1eq 10807 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  z  =  2 )
7 2z 10054 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
8 iddvds 12542 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
9 2nn 9877 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
10 1lt2 9886 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
11 ndvdsp1 12608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) ) )
127, 9, 10, 11mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) )
137, 8, 12mp2b 9 . . . . . . 7  |-  -.  2  ||  ( 2  +  1 )
14 df-3 9805 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1514breq2i 4031 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  <->  2  ||  ( 2  +  1 ) )
1613, 15mtbir 290 . . . . . 6  |-  -.  2  ||  3
17 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( z  =  2  ->  (
z  ||  3  <->  2  ||  3 ) )
1816, 17mtbiri 294 . . . . 5  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  ||  3 )
196, 18syl 15 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  -.  z  ||  3 )
20 2p1e3 9847 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
21 3cn 9818 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
22 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
23 2cn 9816 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
2421, 22, 23subadd2i 9134 . . . . . 6  |-  ( ( 3  -  1 )  =  2  <->  ( 2  +  1 )  =  3 )
2520, 24mpbir 200 . . . . 5  |-  ( 3  -  1 )  =  2
2625oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 2 ... 2
)
2719, 26eleq2s 2375 . . 3  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  3 )
2827rgen 2608 . 2  |-  A. z  e.  ( 2 ... (
3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
29 isprm3 12767 . 2  |-  ( 3  e.  Prime  <->  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
) )
305, 28, 29mpbir2an 886 1  |-  3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  4001lem4  13142  lt6abl  15181  ppi3  20409  cht3  20411  bpos1  20522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator