MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3reeanv Structured version   Unicode version

Theorem 3reeanv 2878
Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
3reeanv  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Distinct variable groups:    ph, y, z    ps, x, z    ch, x, y    y, A    x, B, z    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( z)    A( x, z)    B( y)    C( z)

Proof of Theorem 3reeanv
StepHypRef Expression
1 r19.41v 2863 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\ 
ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
2 reeanv 2877 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  <->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps ) )
32anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
41, 3bitri 242 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
5 df-3an 939 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
652rexbii 2734 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
7 reeanv 2877 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  (
( ph  /\  ps )  /\  ch )  <->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
86, 7bitri 242 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
98rexbii 2732 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
10 df-3an 939 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
114, 9, 103bitr4i 270 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wrex 2708
This theorem is referenced by:  imasmnd2  14734  imasgrp2  14935  imasrng  15727  axeuclid  25904  lshpkrlem6  29975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-rex 2713
  Copyright terms: Public domain W3C validator