MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Unicode version

Theorem 4001prm 13143
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 13110 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 9883 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10142 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10142 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 9984 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 9980 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10138 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10138 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9000 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10147 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10138 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 9977 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
18 pncan 9057 . . . . 5  |-  ( (;;; 4 0 0 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 4 0 0 0 )
1917, 10, 18mp2an 653 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
2015, 19eqtri 2303 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
21 5nn0 9985 . . . 4  |-  5  e.  NN0
22 8nn0 9988 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2322, 7deccl 10138 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
24 eqid 2283 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
25 eqid 2283 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
26 8t5e40 10215 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2726oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
288nn0cni 9977 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2928addid1i 8999 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
3027, 29eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
31 5nn 9880 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
3231nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3332mul02i 9001 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
347dec0h 10140 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3533, 34eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3621, 22, 7, 25, 7, 7, 30, 35decmul1c 10171 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3736oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
389nn0cni 9977 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3938addid1i 8999 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
4037, 39eqtri 2303 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
4121, 23, 7, 24, 7, 7, 40, 35decmul1c 10171 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4220, 41eqtr4i 2306 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
43 1nn0 9981 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
449, 43deccl 10138 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
455, 44eqeltri 2353 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4645nn0cni 9977 . . . 4  |-  N  e.  CC
47 npcan 9060 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4846, 10, 47mp2an 653 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4948eqcomi 2287 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
50 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
51 2nn 9877 . . 3  |-  2  e.  NN
5250, 51decnncl 10137 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
53 3nn 9878 . 2  |-  3  e.  NN
54 2nn0 9982 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5550, 54deccl 10138 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5643, 54deccl 10138 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
57 2p1e3 9847 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5832sqvali 11183 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
59 5t5e25 10200 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
6058, 59eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
61 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
62 5t2e10 9875 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6332, 61, 62mulcomli 8844 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
64 dec10 10154 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6563, 64eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6661addid2i 9000 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6743, 7, 54, 65, 66decaddi 10168 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6821, 54, 21, 60, 21, 54, 67, 59decmul1c 10171 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6921, 54, 57, 68numexpp1 13093 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
70 6nn0 9986 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
7143, 70deccl 10138 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
72 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
73 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
74 7nn0 9987 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
75 eqid 2283 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
76 7nn 9882 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
7776nncni 9756 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
78 7p1e8 9852 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7977, 10, 78addcomli 9004 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
8022dec0h 10140 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
8179, 80eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
82 3cn 9818 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8382mulid1i 8839 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8483, 11oveq12i 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
85 3p1e4 9848 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8684, 85eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8761mulid1i 8839 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8887oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
892nncni 9756 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
90 8p2e10 9869 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
9189, 61, 90addcomli 9004 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
9288, 91, 643eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9350, 54, 7, 22, 75, 81, 43, 7, 43, 86, 92decmac 10163 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9470dec0h 10140 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
95 3t2e6 9872 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9695, 11oveq12i 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
97 6p1e7 9851 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9896, 97eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
99 2t2e4 9871 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
10099oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
101 6nn 9881 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
102101nncni 9756 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
103 4cn 9820 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
104 6p4e10 9866 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
105102, 103, 104addcomli 9004 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
106100, 105, 643eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10750, 54, 7, 70, 75, 94, 54, 7, 43, 98, 106decmac 10163 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10843, 54, 43, 70, 72, 73, 55, 7, 74, 93, 107decma2c 10164 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
109 5p1e6 9850 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
110 5t3e15 10198 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11132, 82, 110mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
11243, 21, 109, 111decsuc 10147 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
11321, 50, 54, 75, 7, 43, 112, 65decmul1c 10171 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11455, 56, 21, 69, 7, 71, 108, 113decmul2c 10172 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11520, 114eqtr4i 2306 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
116 2lt10 9929 . . . 4  |-  2  <  10
117 1nn 9757 . . . . 5  |-  1  e.  NN
118 3lt10 9928 . . . . 5  |-  3  <  10
119117, 54, 50, 118declti 10149 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
12050, 56, 54, 21, 116, 119decltc 10146 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
121120, 69breqtrri 4048 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
12254001lem3 13141 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
12354001lem4 13142 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1241, 4, 42, 49, 52, 53, 51, 115, 121, 122, 123pockthi 12954 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   10c10 9803   NN0cn0 9965  ;cdc 10124   ^cexp 11104   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-odz 12833  df-phi 12834  df-pc 12890
  Copyright terms: Public domain W3C validator