MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Unicode version

Theorem 4001prm 13159
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 13126 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 9899 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10158 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10158 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10000 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 9996 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10154 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10154 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9016 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10163 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10154 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 9993 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
18 pncan 9073 . . . . 5  |-  ( (;;; 4 0 0 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 4 0 0 0 )
1917, 10, 18mp2an 653 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
2015, 19eqtri 2316 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
21 5nn0 10001 . . . 4  |-  5  e.  NN0
22 8nn0 10004 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2322, 7deccl 10154 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
24 eqid 2296 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
25 eqid 2296 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
26 8t5e40 10231 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2726oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
288nn0cni 9993 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2928addid1i 9015 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
3027, 29eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
31 5nn 9896 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
3231nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3332mul02i 9017 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
347dec0h 10156 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3533, 34eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3621, 22, 7, 25, 7, 7, 30, 35decmul1c 10187 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3736oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
389nn0cni 9993 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3938addid1i 9015 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
4037, 39eqtri 2316 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
4121, 23, 7, 24, 7, 7, 40, 35decmul1c 10187 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4220, 41eqtr4i 2319 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
43 1nn0 9997 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
449, 43deccl 10154 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
455, 44eqeltri 2366 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4645nn0cni 9993 . . . 4  |-  N  e.  CC
47 npcan 9076 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4846, 10, 47mp2an 653 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4948eqcomi 2300 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
50 3nn0 9999 . . 3  |-  3  e.  NN0
51 2nn 9893 . . 3  |-  2  e.  NN
5250, 51decnncl 10153 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
53 3nn 9894 . 2  |-  3  e.  NN
54 2nn0 9998 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5550, 54deccl 10154 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5643, 54deccl 10154 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
57 2p1e3 9863 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5832sqvali 11199 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
59 5t5e25 10216 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
6058, 59eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
61 2cn 9832 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
62 5t2e10 9891 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6332, 61, 62mulcomli 8860 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
64 dec10 10170 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6563, 64eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6661addid2i 9016 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6743, 7, 54, 65, 66decaddi 10184 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6821, 54, 21, 60, 21, 54, 67, 59decmul1c 10187 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6921, 54, 57, 68numexpp1 13109 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
70 6nn0 10002 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
7143, 70deccl 10154 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
72 eqid 2296 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
73 eqid 2296 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
74 7nn0 10003 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
75 eqid 2296 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
76 7nn 9898 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
7776nncni 9772 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
78 7p1e8 9868 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7977, 10, 78addcomli 9020 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
8022dec0h 10156 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
8179, 80eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
82 3cn 9834 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8382mulid1i 8855 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8483, 11oveq12i 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
85 3p1e4 9864 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8684, 85eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8761mulid1i 8855 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8887oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
892nncni 9772 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
90 8p2e10 9885 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
9189, 61, 90addcomli 9020 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
9288, 91, 643eqtri 2320 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9350, 54, 7, 22, 75, 81, 43, 7, 43, 86, 92decmac 10179 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9470dec0h 10156 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
95 3t2e6 9888 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9695, 11oveq12i 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
97 6p1e7 9867 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9896, 97eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
99 2t2e4 9887 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
10099oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
101 6nn 9897 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
102101nncni 9772 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
103 4cn 9836 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
104 6p4e10 9882 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
105102, 103, 104addcomli 9020 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
106100, 105, 643eqtri 2320 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10750, 54, 7, 70, 75, 94, 54, 7, 43, 98, 106decmac 10179 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10843, 54, 43, 70, 72, 73, 55, 7, 74, 93, 107decma2c 10180 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
109 5p1e6 9866 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
110 5t3e15 10214 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11132, 82, 110mulcomli 8860 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
11243, 21, 109, 111decsuc 10163 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
11321, 50, 54, 75, 7, 43, 112, 65decmul1c 10187 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11455, 56, 21, 69, 7, 71, 108, 113decmul2c 10188 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11520, 114eqtr4i 2319 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
116 2lt10 9945 . . . 4  |-  2  <  10
117 1nn 9773 . . . . 5  |-  1  e.  NN
118 3lt10 9944 . . . . 5  |-  3  <  10
119117, 54, 50, 118declti 10165 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
12050, 56, 54, 21, 116, 119decltc 10162 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
121120, 69breqtrri 4064 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
12254001lem3 13157 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
12354001lem4 13158 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1241, 4, 42, 49, 52, 53, 51, 115, 121, 122, 123pockthi 12970 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   7c7 9816   8c8 9817   10c10 9819   NN0cn0 9981  ;cdc 10140   ^cexp 11120   Primecprime 12774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-odz 12849  df-phi 12850  df-pc 12906
  Copyright terms: Public domain W3C validator