MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Unicode version

Theorem 43prm 13123
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 9984 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 9878 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10137 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 9988 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 10138 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 9928 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 9883 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 9927 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 10149 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10146 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 9879 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 9930 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 10149 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 9816 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 8840 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 9805 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 13078 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 10138 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 9757 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 9980 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 10140 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 9818 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 8839 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 9848 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 9982 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 9847 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 9820 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 10196 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 8844 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 10147 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 10164 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 9888 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 9893 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 13079 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 9882 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 9986 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 10210 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 10147 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 9906 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 10142 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 8999 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 8999 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 10140 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2307 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 9296 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 10145 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 10140 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 9873 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 10188 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 10149 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 9884 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 9973 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 9973 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 10140 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 9842 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 10206 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 9840 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 9756 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9004 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 10169 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 9922 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 10149 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 9880 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 9973 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 10140 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 10219 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 10182 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 10169 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 9926 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 10149 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 10137 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 9877 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 10142 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 9756 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 8839 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2283 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 10165 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 9830 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 10145 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 13121 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802  ;cdc 10124   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  bpos1  20522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator