MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Unicode version

Theorem 43prm 13444
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 10240 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 10134 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10395 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 10244 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 10396 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10239 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10237 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10184 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10139 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 10183 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 10407 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10404 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 10135 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 10186 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 10407 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 10070 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 9093 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 10059 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 13399 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 10396 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 10011 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 10236 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 10398 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 10072 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 9092 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 10104 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 10238 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 10103 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 10074 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 10454 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 9097 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 10405 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 10422 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 10144 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 10149 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 13400 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 10138 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 10242 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 10468 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 10405 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 10162 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 10400 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 9093 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 9253 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 9253 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 10398 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2460 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 9550 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 10403 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 10398 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 10129 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 10446 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 10407 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 10140 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 10229 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 10229 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 10398 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 10098 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 10464 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 10094 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 10010 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9258 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 10427 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 10178 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 10407 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 10136 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 10229 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 10398 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 10477 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 10440 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 10427 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 10182 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 10407 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 10395 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 10133 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 10400 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 10010 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 9092 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2436 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 10423 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 10084 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 10403 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 13442 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   5c5 10052   6c6 10053   7c7 10054   8c8 10055   9c9 10056  ;cdc 10382   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  bpos1  21067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator