Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atex Structured version   Unicode version

Theorem 4atex 30810
 Description: Whenever there are at least 4 atoms under (specifically, , , , and ), there are also at least 4 atoms under . This proves the statement in Lemma E of [Crawley] p. 114, last line, "...p q/0 and hence p s/0 contains at least four atoms..." Note that by cvlsupr2 30078, our is a shorter way to express . (Contributed by NM, 27-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
4that.l
4that.j
4that.a
4that.h
Assertion
Ref Expression
4atex
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 4atex
StepHypRef Expression
1 simp21l 1074 . . . . 5
21ad2antrr 707 . . . 4
3 simp21r 1075 . . . . 5
43ad2antrr 707 . . . 4
5 oveq1 6080 . . . . . 6
65eqcoms 2438 . . . . 5
76adantl 453 . . . 4
8 breq1 4207 . . . . . . 7
98notbid 286 . . . . . 6
10 oveq2 6081 . . . . . . 7
11 oveq2 6081 . . . . . . 7
1210, 11eqeq12d 2449 . . . . . 6
139, 12anbi12d 692 . . . . 5
1413rspcev 3044 . . . 4
152, 4, 7, 14syl12anc 1182 . . 3
16 simpl3r 1013 . . . . . 6
1716ad2antrr 707 . . . . 5
18 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
1918eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9
2019anbi2d 685 . . . . . . . 8
2120rexbidv 2718 . . . . . . 7
22 breq1 4207 . . . . . . . . . 10
2322notbid 286 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10
25 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10
2624, 25eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9
2723, 26anbi12d 692 . . . . . . . 8
2827cbvrexv 2925 . . . . . . 7
2921, 28syl6rbbr 256 . . . . . 6
3029adantl 453 . . . . 5
3117, 30mpbid 202 . . . 4
32 simp22l 1076 . . . . . 6
3332ad3antrrr 711 . . . . 5
34 simp22r 1077 . . . . . 6
3534ad3antrrr 711 . . . . 5
36 simp3l 985 . . . . . . . 8
3736necomd 2681 . . . . . . 7
3837ad3antrrr 711 . . . . . 6
39 simpr 448 . . . . . . 7
4039necomd 2681 . . . . . 6
41 simpllr 736 . . . . . . 7
42 simp1l 981 . . . . . . . . . 10
43 hlcvl 30094 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9
4544ad3antrrr 711 . . . . . . . 8
46 simp23 992 . . . . . . . . 9
4746ad3antrrr 711 . . . . . . . 8
481ad3antrrr 711 . . . . . . . 8
49 simplr 732 . . . . . . . 8
50 4that.l . . . . . . . . 9
51 4that.j . . . . . . . . 9
52 4that.a . . . . . . . . 9
5350, 51, 52cvlatexch1 30071 . . . . . . . 8
5445, 47, 33, 48, 49, 53syl131anc 1197 . . . . . . 7
5541, 54mpd 15 . . . . . 6
5649necomd 2681 . . . . . . 7
5752, 50, 51cvlsupr2 30078 . . . . . . 7
5845, 48, 47, 33, 56, 57syl131anc 1197 . . . . . 6
5938, 40, 55, 58mpbir3and 1137 . . . . 5
60 breq1 4207 . . . . . . . 8
6160notbid 286 . . . . . . 7
62 oveq2 6081 . . . . . . . 8
63 oveq2 6081 . . . . . . . 8
6462, 63eqeq12d 2449 . . . . . . 7
6561, 64anbi12d 692 . . . . . 6
6665rspcev 3044 . . . . 5
6733, 35, 59, 66syl12anc 1182 . . . 4
6831, 67pm2.61dane 2676 . . 3
6915, 68pm2.61dane 2676 . 2
70 simpl1 960 . . 3
71 simpl2 961 . . 3
72 simpl3l 1012 . . 3
73 simpr 448 . . 3
74 simpl3r 1013 . . 3
75 4that.h . . . 4
7650, 51, 52, 754atexlem7 30809 . . 3
7770, 71, 72, 73, 74, 76syl113anc 1196 . 2
7869, 77pm2.61dan 767 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cple 13528  cjn 14393  catm 29998  clc 30000  chlt 30085  clh 30718 This theorem is referenced by:  4atex2  30811 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lhyp 30722
 Copyright terms: Public domain W3C validator