Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11 Unicode version

Theorem 4atlem11 29798
Description: Lemma for 4at 29802. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  ( R  .\/  S ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem11
StepHypRef Expression
1 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
2 simpl11 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 29553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simpl2l 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 4at.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
86, 7atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
10 simpl2r 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
116, 7atbase 29479 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
13 simpl12 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
14 simpl31 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
15 4at.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
166, 15, 7hlatjcl 29556 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
172, 13, 14, 16syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
18 simpl32 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
19 simpl33 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
206, 15, 7hlatjcl 29556 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
212, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
226, 15latjcl 14156 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
234, 17, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
24 4at.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
256, 24, 15latjle12 14168 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
264, 9, 12, 23, 25syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
2726anbi2d 684 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S ) 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
281, 27syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
29 simpl13 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
306, 7atbase 29479 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
326, 15, 7hlatjcl 29556 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
332, 5, 10, 32syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
346, 24, 15latjle12 14168 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( R  .\/  S
) )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
354, 31, 33, 23, 34syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3628, 35bitrd 244 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( R  .\/  S
) )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
37 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
38 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
3918, 19jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
40 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
4124, 15, 74atlem3a 29786 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W ) ) )
4237, 38, 39, 40, 41syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W ) ) )
43 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
44 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
45 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
46 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
4724, 15, 74atlem11b 29797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
49483exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
5023ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
51133ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  e.  A )
52293ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
5353ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  e.  A )
54103ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  e.  A )
5515, 7hlatj4 29563 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  ( Q  .\/  S ) ) )
5650, 51, 52, 53, 54, 55syl122anc 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  R )  .\/  ( Q 
.\/  S ) ) )
5750, 51, 533jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A ) )
5852, 54jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  S  e.  A )
)
59 simp1l3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
60 simp1r2 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
6124, 15, 74atlem0be 29784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  R )
6250, 51, 52, 53, 60, 61syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  =/=  R )
63 simp1r1 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
6424, 15, 74atlem0ae 29783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  R ) )
6550, 51, 52, 53, 63, 60, 64syl132anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  R ) )
66 simp1r3 1053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
6715, 7hlatj32 29561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
6850, 51, 52, 53, 67syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
6968breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  Q ) ) )
7066, 69mtbid 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
7162, 65, 703jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  R  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  R )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  R )  .\/  Q ) ) )
72 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
73 simp32 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
74 simp31 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
75 simp33 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
7624, 15, 74atlem11b 29797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  R  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  R
)  .\/  ( Q  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
7757, 58, 59, 71, 72, 73, 74, 75, 76syl323anc 1212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  R
)  .\/  ( Q  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
7856, 77eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
79783exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
806, 7atbase 29479 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
8113, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
826, 15latj4rot 14208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
834, 81, 31, 9, 12, 82syl122anc 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
8415, 7hlatjcom 29557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  ( S  .\/  P
)  =  ( P 
.\/  S ) )
852, 10, 13, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  .\/  P )  =  ( P  .\/  S
) )
8685oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( S  .\/  P
)  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  S )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
8783, 86eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
88873ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
892, 13, 103jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A ) )
9029, 5jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)
91 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
9289, 90, 913jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
93923ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
9424, 15, 74noncolr1 29644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
9537, 38, 40, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
96 necom 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =/=  P  <->  P  =/=  S )
9796a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  <->  P  =/=  S ) )
9885breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( S  .\/  P )  <->  Q  .<_  ( P 
.\/  S ) ) )
9998notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  <->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  S
) ) )
10085oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( S  .\/  P
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  Q ) )
101100breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( S 
.\/  P )  .\/  Q )  <->  R  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  Q ) ) )
102101notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q )  <->  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  Q ) ) )
10397, 99, 1023anbi123d 1252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q ) )  <-> 
( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  Q ) ) ) )
10495, 103mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  Q ) ) )
1051043ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  Q ) ) )
106 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
107 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
108 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
109 simpr2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
110107, 108, 1093jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
1111103adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11224, 15, 74atlem11b 29797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
11393, 105, 106, 111, 112syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
11488, 113eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
1151143exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11649, 79, 1153jaod 1246 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11742, 116mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11836, 117sylbird 226 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  ( R  .\/  S ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  4atlem12b  29800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689
  Copyright terms: Public domain W3C validator