Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem3b Unicode version

Theorem 4atlem3b 29787
Description: Lemma for 4at 29802. Break inequality into 2 cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem3b  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )

Proof of Theorem 4atlem3b
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
2 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
3 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
42, 3jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
5 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
6 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
75, 6jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  V  e.  A )
)
8 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
9 4at.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 4at.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 4at.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
129, 10, 114atlem3a 29786 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )
131, 4, 7, 8, 12syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )
14 3orass 937 . . 3  |-  ( ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) )  <-> 
( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) ) )
1513, 14sylib 188 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) ) )
16 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 29553 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
19 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
20 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 10, 11hlatjcl 29556 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
2216, 19, 6, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
2320, 11atbase 29479 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
245, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
2520, 9, 10latlej2 14167 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  Q )
)
2618, 22, 24, 25syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  V )  .\/  Q ) )
2710, 11hlatj32 29561 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  V  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  V
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  V ) )
2816, 19, 6, 5, 27syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  V
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  V ) )
2926, 28breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V ) )
30 biortn 395 . . 3  |-  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  ->  ( ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V ) )  <->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )
) ) ) )
3129, 30syl 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) )  <-> 
( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) ) ) )
3215, 31mpbird 223 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  4atlem10  29795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689
  Copyright terms: Public domain W3C validator