Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem3b Unicode version

Theorem 4atlem3b 29605
Description: Lemma for 4at 29620. Break inequality into 2 cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem3b  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )

Proof of Theorem 4atlem3b
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
2 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
3 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
42, 3jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
5 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
6 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
75, 6jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  V  e.  A )
)
8 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
9 4at.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 4at.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 4at.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
129, 10, 114atlem3a 29604 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )
131, 4, 7, 8, 12syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )
14 3orass 937 . . 3  |-  ( ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) )  <-> 
( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) ) )
1513, 14sylib 188 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) ) )
16 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 29371 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
19 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
20 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 10, 11hlatjcl 29374 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
2216, 19, 6, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
2320, 11atbase 29297 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
245, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
2520, 9, 10latlej2 14216 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )
)  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  Q )
)
2618, 22, 24, 25syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  V )  .\/  Q ) )
2710, 11hlatj32 29379 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  V  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  V
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  V ) )
2816, 19, 6, 5, 27syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  V
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  V ) )
2926, 28breqtrd 4084 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V ) )
30 biortn 395 . . 3  |-  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  ->  ( ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V ) )  <->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )
) ) ) )
3129, 30syl 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) )  <-> 
( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) ) ) )
3215, 31mpbird 223 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   lecple 13262   joincjn 14127   Latclat 14200   Atomscatm 29271   HLchlt 29358
This theorem is referenced by:  4atlem10  29613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-undef 6340  df-riota 6346  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-lat 14201  df-clat 14263  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507
  Copyright terms: Public domain W3C validator