Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4bc2eq6 Unicode version

Theorem 4bc2eq6 24114
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6  |-  ( 4  _C  2 )  =  6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
2 4nn 9895 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
32nnzi 10063 . . . . 5  |-  4  e.  ZZ
4 2z 10070 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
51, 3, 43pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
6 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
7 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 2pos 9844 . . . . . 6  |-  0  <  2
96, 7, 8ltleii 8957 . . . . 5  |-  0  <_  2
10 4re 9835 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
11 2lt4 9906 . . . . . 6  |-  2  <  4
127, 10, 11ltleii 8957 . . . . 5  |-  2  <_  4
139, 12pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 )
14 elfz4 10807 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <_  4 ) )  ->  2  e.  ( 0 ... 4
) )
155, 13, 14mp2an 653 . . 3  |-  2  e.  ( 0 ... 4
)
16 bcval2 11334 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 4 )  ->  (
4  _C  2 )  =  ( ( ! `
 4 )  / 
( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2 )
) ) )
1715, 16ax-mp 8 . 2  |-  ( 4  _C  2 )  =  ( ( ! ` 
4 )  /  (
( ! `  (
4  -  2 ) )  x.  ( ! `
 2 ) ) )
18 3nn0 9999 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
19 facp1 11309 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
21 df-4 9822 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2221fveq2i 5544 . . . . 5  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ! `  (
3  +  1 ) )
2321oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( ( ! `  3 )  x.  4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  (
3  +  1 ) )
2420, 22, 233eqtr4i 2326 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  =  ( ( ! ` 
3 )  x.  4 )
25 4cn 9836 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
26 2cn 9832 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
27 2p2e4 9858 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2825, 26, 26, 27subaddrii 9151 . . . . . . . 8  |-  ( 4  -  2 )  =  2
2928fveq2i 5544 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  ( ! `  2
)
30 fac2 11310 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 2 )  =  2
3129, 30eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  =  2
3231, 30oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  ( 2  x.  2 )
33 2t2e4 9887 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
3432, 33eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( ! `  ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! ` 
2 ) )  =  4
3524, 34oveq12i 5886 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  ( ( ( ! `
 3 )  x.  4 )  /  4
)
36 faccl 11314 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ! `
 3 )  e.  NN )
3718, 36ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ! `
 3 )  e.  NN
3837nncni 9772 . . . . 5  |-  ( ! `
 3 )  e.  CC
39 4pos 9848 . . . . . 6  |-  0  <  4
4010, 39gt0ne0ii 9325 . . . . 5  |-  4  =/=  0
4138, 25, 40divcan4i 9523 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  ( ! `  3
)
42 fac3 11311 . . . 4  |-  ( ! `
 3 )  =  6
4341, 42eqtri 2316 . . 3  |-  ( ( ( ! `  3
)  x.  4 )  /  4 )  =  6
4435, 43eqtri 2316 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  /  ( ( ! `
 ( 4  -  2 ) )  x.  ( ! `  2
) ) )  =  6
4517, 44eqtri 2316 1  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   6c6 9815   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   !cfa 11304    _C cbc 11331
This theorem is referenced by:  bpoly4  24866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-fac 11305  df-bc 11332
  Copyright terms: Public domain W3C validator