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Theorem 4ipval2 22242
Description: Four times the inner product value ipval3 22243, useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
4ipval2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P B ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem 4ipval2
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 dipfval.4 . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 dipfval.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 dipfval.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 22241 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
76oveq2d 6133 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P B ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) ) )
8 simp1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
91, 2nvgcl 22137 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
101, 4nvcl 22186 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G B ) )  e.  RR )
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G B ) )  e.  RR )
1211recnd 9152 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G B ) )  e.  CC )
1312sqcld 11559 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
14 neg1cn 10105 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
151, 3nvscl 22145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
1614, 15mp3an2 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
17163adant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
181, 2nvgcl 22137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
1917, 18syld3an3 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
201, 4nvcl 22186 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
218, 19, 20syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
2221recnd 9152 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  CC )
2322sqcld 11559 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
2413, 23subcld 9449 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
25 ax-icn 9087 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
261, 3nvscl 22145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  (
_i S B )  e.  X )
2725, 26mp3an2 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
_i S B )  e.  X )
28273adant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i S B )  e.  X )
291, 2nvgcl 22137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
_i S B )  e.  X )  -> 
( A G ( _i S B ) )  e.  X )
3028, 29syld3an3 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( _i S B ) )  e.  X )
311, 4nvcl 22186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( _i S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) )  e.  RR )
328, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9152 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) )  e.  CC )
3433sqcld 11559 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
3525negcli 9406 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u _i  e.  CC
361, 3nvscl 22145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i S B )  e.  X )
3735, 36mp3an2 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i S B )  e.  X )
38373adant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i S B )  e.  X )
391, 2nvgcl 22137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u _i S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u _i S B ) )  e.  X
)
4038, 39syld3an3 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u _i S B ) )  e.  X )
411, 4nvcl 22186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u _i S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) )  e.  RR )
428, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) )  e.  RR )
4342recnd 9152 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) )  e.  CC )
4443sqcld 11559 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4534, 44subcld 9449 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
46 mulcl 9112 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4725, 45, 46sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
4824, 47addcld 9145 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
49 4cn 10112 . . . 4  |-  4  e.  CC
50 4re 10111 . . . . 5  |-  4  e.  RR
51 4pos 10124 . . . . 5  |-  0  <  4
5250, 51gt0ne0ii 9601 . . . 4  |-  4  =/=  0
53 divcan2 9724 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
4  x.  ( ( ( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4
) )  =  ( ( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
5449, 52, 53mp3an23 1272 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC  ->  ( 4  x.  (
( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
5548, 54syl 16 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( ( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4
) )  =  ( ( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
567, 55eqtrd 2475 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P B ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027   0cc0 9028   1c1 9029   _ici 9030    + caddc 9031    x. cmul 9033    - cmin 9329   -ucneg 9330    / cdiv 9715   2c2 10087   4c4 10089   ^cexp 11420   NrmCVeccnv 22101   +vcpv 22102   BaseSetcba 22103   .s
OLDcns 22104   normCVcnmcv 22107   .i OLDcdip 22234
This theorem is referenced by:  ip1ilem  22365  ipasslem10  22378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-grpo 21817  df-ablo 21908  df-vc 22063  df-nv 22109  df-va 22112  df-ba 22113  df-sm 22114  df-0v 22115  df-nmcv 22117  df-dip 22235
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