Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4ipval2 Structured version   Unicode version

Theorem 4ipval2 22242
 Description: Four times the inner product value ipval3 22243, useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1
dipfval.2
dipfval.4
dipfval.6 CV
dipfval.7
Assertion
Ref Expression
4ipval2

Proof of Theorem 4ipval2
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . 4
2 dipfval.2 . . . 4
3 dipfval.4 . . . 4
4 dipfval.6 . . . 4 CV
5 dipfval.7 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5ipval2 22241 . . 3
76oveq2d 6133 . 2
8 simp1 958 . . . . . . . 8
91, 2nvgcl 22137 . . . . . . . 8
101, 4nvcl 22186 . . . . . . . 8
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . 7
1211recnd 9152 . . . . . 6
1312sqcld 11559 . . . . 5
14 neg1cn 10105 . . . . . . . . . . 11
151, 3nvscl 22145 . . . . . . . . . . 11
1614, 15mp3an2 1268 . . . . . . . . . 10
17163adant2 977 . . . . . . . . 9
181, 2nvgcl 22137 . . . . . . . . 9
1917, 18syld3an3 1230 . . . . . . . 8
201, 4nvcl 22186 . . . . . . . 8
218, 19, 20syl2anc 644 . . . . . . 7
2221recnd 9152 . . . . . 6
2322sqcld 11559 . . . . 5
2413, 23subcld 9449 . . . 4
25 ax-icn 9087 . . . . 5
261, 3nvscl 22145 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26mp3an2 1268 . . . . . . . . . . 11
28273adant2 977 . . . . . . . . . 10
291, 2nvgcl 22137 . . . . . . . . . 10
3028, 29syld3an3 1230 . . . . . . . . 9
311, 4nvcl 22186 . . . . . . . . 9
328, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . 8
3332recnd 9152 . . . . . . 7
3433sqcld 11559 . . . . . 6
3525negcli 9406 . . . . . . . . . . . 12
361, 3nvscl 22145 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36mp3an2 1268 . . . . . . . . . . 11
38373adant2 977 . . . . . . . . . 10
391, 2nvgcl 22137 . . . . . . . . . 10
4038, 39syld3an3 1230 . . . . . . . . 9
411, 4nvcl 22186 . . . . . . . . 9
428, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . 8
4342recnd 9152 . . . . . . 7
4443sqcld 11559 . . . . . 6
4534, 44subcld 9449 . . . . 5
46 mulcl 9112 . . . . 5
4725, 45, 46sylancr 646 . . . 4
4824, 47addcld 9145 . . 3
49 4cn 10112 . . . 4
50 4re 10111 . . . . 5
51 4pos 10124 . . . . 5
5250, 51gt0ne0ii 9601 . . . 4
53 divcan2 9724 . . . 4
5449, 52, 53mp3an23 1272 . . 3
5548, 54syl 16 . 2
567, 55eqtrd 2475 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 937   wceq 1654   wcel 1728   wne 2606  cfv 5489  (class class class)co 6117  cc 9026  cr 9027  cc0 9028  c1 9029  ci 9030   caddc 9031   cmul 9033   cmin 9329  cneg 9330   cdiv 9715  c2 10087  c4 10089  cexp 11420  cnv 22101  cpv 22102  cba 22103  cns 22104  CVcnmcv 22107  cdip 22234 This theorem is referenced by:  ip1ilem  22365  ipasslem10  22378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-grpo 21817  df-ablo 21908  df-vc 22063  df-nv 22109  df-va 22112  df-ba 22113  df-sm 22114  df-0v 22115  df-nmcv 22117  df-dip 22235
 Copyright terms: Public domain W3C validator