MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Unicode version

Theorem 4pos 9848
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos  |-  0  <  4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 9833 . . 3  |-  3  e.  RR
2 1re 8853 . . 3  |-  1  e.  RR
3 3pos 9846 . . 3  |-  0  <  3
4 0lt1 9312 . . 3  |-  0  <  1
51, 2, 3, 4addgt0ii 9331 . 2  |-  0  <  ( 3  +  1 )
6 df-4 9822 . 2  |-  4  =  ( 3  +  1 )
75, 6breqtrri 4064 1  |-  0  <  4
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883   3c3 9812   4c4 9813
This theorem is referenced by:  5pos  9849  8th4div3  9951  iexpcyc  11223  discr  11254  faclbnd2  11320  sqr2gt1lt2  11776  pcoass  18538  minveclem2  18806  dveflem  19342  sincos4thpi  19897  sincos6thpi  19899  log2cnv  20256  chtublem  20466  bposlem6  20544  2sqlem11  20630  chebbnd1lem3  20636  chebbnd1  20637  pntibndlem1  20754  pntlemb  20762  pntlemg  20763  pntlemr  20767  pntlemf  20770  4ipval2  21297  4ipval3  21301  ipidsq  21302  dipcl  21304  dipcj  21306  dip0r  21309  ip1ilem  21420  ipasslem10  21433  minvecolem2  21470  minvecolem3  21471  normlem6  21710  polid2i  21752  lnopeq0i  22603  lnophmlem2  22613  sqsscirc1  23307  4bc2eq6  24114  bpoly3  24865  bpoly4  24866  csbrn  26565  stoweid  27915  wallispi2lem1  27923  stirlinglem3  27928  stirlinglem10  27935  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938  4cycl4v4e  28412  4cycl4dv  28413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822
  Copyright terms: Public domain W3C validator