MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Unicode version

Theorem 4pos 10078
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos  |-  0  <  4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 10063 . . 3  |-  3  e.  RR
2 1re 9082 . . 3  |-  1  e.  RR
3 3pos 10076 . . 3  |-  0  <  3
4 0lt1 9542 . . 3  |-  0  <  1
51, 2, 3, 4addgt0ii 9561 . 2  |-  0  <  ( 3  +  1 )
6 df-4 10052 . 2  |-  4  =  ( 3  +  1 )
75, 6breqtrri 4229 1  |-  0  <  4
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112   3c3 10042   4c4 10043
This theorem is referenced by:  5pos  10079  8th4div3  10183  iexpcyc  11477  discr  11508  faclbnd2  11574  sqr2gt1lt2  12072  pcoass  19041  minveclem2  19319  dveflem  19855  sincos4thpi  20413  sincos6thpi  20415  log2cnv  20776  chtublem  20987  bposlem6  21065  2sqlem11  21151  chebbnd1lem3  21157  chebbnd1  21158  pntibndlem1  21275  pntlemb  21283  pntlemg  21284  pntlemr  21288  pntlemf  21291  usgraex0elv  21407  4cycl4v4e  21645  4cycl4dv  21646  4ipval2  22196  4ipval3  22200  ipidsq  22201  dipcl  22203  dipcj  22205  dip0r  22208  ip1ilem  22319  ipasslem10  22332  minvecolem2  22369  minvecolem3  22370  normlem6  22609  polid2i  22651  lnopeq0i  23502  lnophmlem2  23512  sqsscirc1  24298  4bc2eq6  25196  bpoly3  26096  bpoly4  26097  csbrn  26447  stoweid  27779  wallispi2lem1  27787  stirlinglem3  27792  stirlinglem10  27799  stirlinglem12  27801  stirlinglem13  27802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052
  Copyright terms: Public domain W3C validator