MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sq Unicode version

Theorem 4sq 13295
Description: Lagrange's four-square theorem, or Bachet's conjecture: every nonnegative integer is expressible as a sum of four squares. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
4sq  |-  ( A  e.  NN0  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Distinct variable group:    a, b, c, d, A

Proof of Theorem 4sq
Dummy variables  m  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2418 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
212rexbidv 2717 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  m  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
322rexbidv 2717 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  m  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
43cbvabv 2531 . . 3  |-  { m  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  m  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
544sqlem19 13294 . 2  |-  NN0  =  { m  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  m  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
654sqlem2 13280 1  |-  ( A  e.  NN0  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398   E.wrex 2675  (class class class)co 6048    + caddc 8957   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ^cexp 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-gz 13261
  Copyright terms: Public domain W3C validator