MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem1 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem1 13316
Description: Lemma for 4sq 13332. The set  S is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that  S  =  NN0; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem1  |-  S  C_  NN0
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    S, n
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem1
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . 2  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 zsqcl2 11459 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  NN0 )
3 zsqcl2 11459 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  NN0 )
4 nn0addcl 10255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( y ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
52, 3, 4syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
6 zsqcl2 11459 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  NN0 )
7 zsqcl2 11459 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
w ^ 2 )  e.  NN0 )
8 nn0addcl 10255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( w ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )
96, 7, 8syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10 nn0addcl 10255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0  /\  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
115, 9, 10syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 eleq1a 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ ) )  -> 
( n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1413rexlimdvva 2837 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1514rexlimivv 2835 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
1615abssi 3418 . 2  |-  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  C_  NN0
171, 16eqsstri 3378 1  |-  S  C_  NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706    C_ wss 3320  (class class class)co 6081    + caddc 8993   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  4sqlem19  13331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator