MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem1 Unicode version

Theorem 4sqlem1 12995
Description: Lemma for 4sq 13011. The set  S is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that  S  =  NN0; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem1  |-  S  C_  NN0
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    S, n
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem1
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . 2  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 zsqcl2 11181 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  NN0 )
3 zsqcl2 11181 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  NN0 )
4 nn0addcl 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( y ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
52, 3, 4syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
6 zsqcl2 11181 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  NN0 )
7 zsqcl2 11181 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
w ^ 2 )  e.  NN0 )
8 nn0addcl 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( w ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )
96, 7, 8syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10 nn0addcl 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0  /\  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
115, 9, 10syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 eleq1a 2352 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ ) )  -> 
( n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1413rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1514rexlimivv 2672 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
1615abssi 3248 . 2  |-  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  C_  NN0
171, 16eqsstri 3208 1  |-  S  C_  NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544    C_ wss 3152  (class class class)co 5858    + caddc 8740   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  4sqlem19  13010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator