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Theorem 4sqlem10 13315
Description: Lemma for 4sq 13332. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem10.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
54nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR )
65rehalfcld 10214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
76recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
87negnegd 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  =  ( M  /  2 ) )
9 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
101, 3, 94sqlem5 13310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1211simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  ZZ )
1312zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  RR )
141, 3, 94sqlem6 13311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1615simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
1713, 16ltned 9209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =/=  ( M  /  2 ) )
1817neneqd 2617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  B  =  ( M  /  2 ) )
19 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  e.  CC )
2120sqvald 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
2221oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
234nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  CC )
24 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  =/=  0 )
2623, 20, 25sqdivd 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2723sqcld 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2827, 20, 20, 25, 25divdiv1d 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2922, 26, 283eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
3027halfcld 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
3130halfcld 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
3212zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  CC )
3332sqcld 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
34 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
3531, 33, 34subeq0d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( B ^ 2 ) )
3629, 35eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( M  /  2 ) ^ 2 ) )
37 sqeqor 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( B ^ 2 )  =  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( B  =  ( M  /  2
)  \/  B  = 
-u ( M  / 
2 ) ) ) )
3832, 7, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( B ^
2 )  =  ( ( M  /  2
) ^ 2 )  <-> 
( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) ) )
3936, 38mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
4039ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -.  B  =  ( M  /  2
)  ->  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
4118, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  -u ( M  /  2 ) )
4241, 12eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
4342znegcld 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
448, 43eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
452, 44zaddcld 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )
4645zred 10375 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
474nnrpd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR+ )
4846, 47modcld 11254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
4948recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC )
50 0cn 9084 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  CC )
52 df-neg 9294 . . . . . . 7  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
5341, 9, 523eqtr3g 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  =  ( 0  -  ( M  /  2
) ) )
5449, 51, 7, 53subcan2d 9453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 )
55 dvdsval3 12856 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
564, 45, 55syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5754, 56mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )
584nnzd 10374 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
59 dvdssq 13060 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6058, 45, 59syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6157, 60mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )
6223sqvald 11520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
634nnne0d 10044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  =/=  0 )
64 dvdsmulcr 12879 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6558, 45, 58, 63, 64syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6657, 65mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  x.  M
)  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
6762, 66eqbrtrd 4232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
68 zsqcl 11452 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6958, 68syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
70 zsqcl 11452 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7145, 70syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7245, 58zmulcld 10381 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )
73 dvds2sub 12882 . . . 4  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7469, 71, 72, 73syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7561, 67, 74mp2and 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7645zcnd 10376 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  CC )
7776sqvald 11520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  /  2
) ) ) )
7877oveq1d 6096 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7976, 76, 23subdid 9489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
80232halvesd 10213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
8180oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )
822zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
8382, 7, 7pnpcan2d 9449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8481, 83eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  M
)  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8584oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
86 subsq 11488 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) ) )
8782, 7, 86syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
8829oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8985, 87, 883eqtr2d 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9078, 79, 893eqtr2d 2474 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9175, 90breqtrd 4236 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282    mod cmo 11250   ^cexp 11382    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007
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