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Theorem 4sqlem10 12994
Description: Lemma for 4sq 13011. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem10.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41, 2, 34sqlem5 12989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
54adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
65simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  ZZ )
76zred 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  RR )
81, 2, 34sqlem6 12990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
98adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
109simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
117, 10ltned 8955 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =/=  ( M  /  2 ) )
1211neneqd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  B  =  ( M  /  2 ) )
13 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  e.  CC )
1514sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
1615oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
172adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
1817nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  CC )
19 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  =/=  0 )
2118, 14, 20sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2218sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2322, 14, 14, 20, 20divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2416, 21, 233eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
2522halfcld 9956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
2625halfcld 9956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
276zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  CC )
2827sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
29 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
3026, 28, 29subeq0d 9165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( B ^ 2 ) )
3124, 30eqtr2d 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( M  /  2 ) ^ 2 ) )
3217nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR )
3332rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
3433recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
35 sqeqor 11217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( B ^ 2 )  =  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( B  =  ( M  /  2
)  \/  B  = 
-u ( M  / 
2 ) ) ) )
3627, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( B ^
2 )  =  ( ( M  /  2
) ^ 2 )  <-> 
( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) ) )
3731, 36mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
3837ord 366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -.  B  =  ( M  /  2
)  ->  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
3912, 38mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  -u ( M  /  2 ) )
40 df-neg 9040 . . . . . . 7  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
4139, 3, 403eqtr3g 2338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  =  ( 0  -  ( M  /  2
) ) )
421adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
4334negnegd 9148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  =  ( M  /  2 ) )
4439, 6eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
4544znegcld 10119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
4643, 45eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
4742, 46zaddcld 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )
4847zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
4917nnrpd 10389 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR+ )
5048, 49modcld 10977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
5150recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC )
52 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
5352a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  CC )
54 subcan2 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  ( M  /  2 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  =  ( 0  -  ( M  /  2
) )  <->  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  =  0 ) )
5551, 53, 34, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5641, 55mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 )
57 dvdsval3 12535 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5817, 47, 57syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5956, 58mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )
6017nnzd 10116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
61 dvdssq 12739 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6260, 47, 61syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6359, 62mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )
6418sqvald 11242 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
6517nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  =/=  0 )
66 dvdsmulcr 12558 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6760, 47, 60, 65, 66syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6859, 67mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  x.  M
)  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
6964, 68eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
70 zsqcl 11174 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
7160, 70syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
72 zsqcl 11174 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7347, 72syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7447, 60zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )
75 dvds2sub 12561 . . . 4  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7671, 73, 74, 75syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7763, 69, 76mp2and 660 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7847zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  CC )
7978sqvald 11242 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  /  2
) ) ) )
8079oveq1d 5873 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
8178, 78, 18subdid 9235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
82182halvesd 9957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
8382oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )
8442zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
8584, 34, 34pnpcan2d 9195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8683, 85eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  M
)  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8786oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
88 subsq 11210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) ) )
8984, 34, 88syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
9024oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9187, 89, 903eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9280, 81, 913eqtr2d 2321 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9377, 92breqtrd 4047 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024    mod cmo 10973   ^cexp 11104    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686
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