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Theorem 4sqlem14 13021
Description: Lemma for 4sq 13027. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
3 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
42, 3eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  NN
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
6 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
74, 6sseqtri 3223 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 13020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1413simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 10317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
167, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
175, 16syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
184, 17sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918nnzd 10132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 prmz 12778 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2111, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
22 dvdsmul1 12566 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
2319, 21, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2624, 18, 254sqlem8 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2927, 18, 284sqlem8 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
30 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3124, 30syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3224, 18, 254sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
3332simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
34 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
3635nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
3731, 36zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ )
38 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3927, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
4027, 18, 284sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4140simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
42 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
4539, 44zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
46 dvds2add 12576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4719, 37, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4826, 29, 47mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
4924zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5049sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5127zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5251sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
5333zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
5453sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
5541zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
5655sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
5750, 52, 54, 56addsub4d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
5848, 57breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6159, 18, 604sqlem8 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6462, 18, 634sqlem8 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
65 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6659, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6759, 18, 604sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
6867simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
69 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  NN0 )
7170nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
7266, 71zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ )
73 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7462, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7562, 18, 634sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
7675simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
77 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e. 
NN0 )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  NN0 )
7978nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
8074, 79zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
81 dvds2add 12576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8219, 72, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8361, 64, 82mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
8459zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8584sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8662zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8786sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
8868zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
8988sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
9076zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
9190sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
9285, 87, 89, 91addsub4d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
9383, 92breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
9431, 39zaddcld 10137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9535, 43nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
9695nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9794, 96zsubcld 10138 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
9866, 74zaddcld 10137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9970, 78nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10099nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
10198, 100zsubcld 10138 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
102 dvds2add 12576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10319, 97, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10458, 93, 103mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105 4sq.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
106105oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
10750, 52addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
10885, 87addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
10954, 56addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
11089, 91addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
111107, 108, 109, 110addsub4d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112106, 111eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113104, 112breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11419, 21zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  ZZ )
11596, 100zaddcld 10137 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
116114, 115zsubcld 10138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )
117 dvds2sub 12577 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( M  x.  P )  /\  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11819, 114, 116, 117syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( M  x.  P
)  /\  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11923, 113, 118mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12018nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
121 prmnn 12777 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12211, 121syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
123122nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
124120, 123mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
125109, 110addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
126124, 125nncand 9178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
127119, 126breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
12818nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
12995, 99nn0addcld 10038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
130129nn0zd 10131 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
131 dvdsval2 12550 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
13219, 128, 130, 131syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
133127, 132mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ )
134129nn0red 10035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
135129nn0ge0d 10037 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
13618nnred 9777 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
13718nngt0d 9805 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
138 divge0 9641 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
140 elnn0z 10052 . . 3  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  e.  NN0  <->  ( ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) ) )
141133, 139, 140sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  NN0 )
1421, 141syl5eqel 2380 1  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  4sqlem17  13024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-gz 12993
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