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Theorem 4sqlem14 13326
Description: Lemma for 4sq 13332. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
3 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
42, 3eqsstri 3378 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  NN
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
6 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
74, 6sseqtri 3380 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 13325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1413simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
167, 14, 15sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
175, 16syl5eqel 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
184, 17sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918nnzd 10374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 prmz 13083 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2111, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
22 dvdsmul1 12871 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
2319, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2624, 18, 254sqlem8 13313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2927, 18, 284sqlem8 13313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
30 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3224, 18, 254sqlem5 13310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
3332simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
34 zsqcl2 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
3635nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
3731, 36zsubcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ )
38 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3927, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
4027, 18, 284sqlem5 13310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4140simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
42 zsqcl2 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
4539, 44zsubcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
46 dvds2add 12881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4719, 37, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4826, 29, 47mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
4924zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5049sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5127zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5251sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
5333zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
5453sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
5541zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
5655sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
5750, 52, 54, 56addsub4d 9458 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
5848, 57breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6159, 18, 604sqlem8 13313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6462, 18, 634sqlem8 13313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
65 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6659, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6759, 18, 604sqlem5 13310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
6867simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
69 zsqcl2 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  NN0 )
7170nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
7266, 71zsubcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ )
73 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7462, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7562, 18, 634sqlem5 13310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
7675simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
77 zsqcl2 11459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e. 
NN0 )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  NN0 )
7978nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
8074, 79zsubcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
81 dvds2add 12881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8219, 72, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8361, 64, 82mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
8459zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8584sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8662zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8786sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
8868zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
8988sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
9076zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
9190sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
9285, 87, 89, 91addsub4d 9458 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
9383, 92breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
9431, 39zaddcld 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9535, 43nn0addcld 10278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
9695nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9794, 96zsubcld 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
9866, 74zaddcld 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9970, 78nn0addcld 10278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10099nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
10198, 100zsubcld 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
102 dvds2add 12881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10319, 97, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10458, 93, 103mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105 4sq.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
106105oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
10750, 52addcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
10885, 87addcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
10954, 56addcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
11089, 91addcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
111107, 108, 109, 110addsub4d 9458 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112106, 111eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113104, 112breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11419, 21zmulcld 10381 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  ZZ )
11596, 100zaddcld 10379 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
116114, 115zsubcld 10380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )
117 dvds2sub 12882 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( M  x.  P )  /\  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11819, 114, 116, 117syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( M  x.  P
)  /\  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11923, 113, 118mp2and 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12018nncnd 10016 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
121 prmnn 13082 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12211, 121syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
123122nncnd 10016 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
124120, 123mulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
125109, 110addcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
126124, 125nncand 9416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
127119, 126breqtrd 4236 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
12818nnne0d 10044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
12995, 99nn0addcld 10278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
130129nn0zd 10373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
131 dvdsval2 12855 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
13219, 128, 130, 131syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
133127, 132mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ )
134129nn0red 10275 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
135129nn0ge0d 10277 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
13618nnred 10015 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
13718nngt0d 10043 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
138 divge0 9879 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
140 elnn0z 10294 . . 3  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  e.  NN0  <->  ( ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) ) )
141133, 139, 140sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  NN0 )
1421, 141syl5eqel 2520 1  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    mod cmo 11250   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  4sqlem17  13329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-gz 13298
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