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Theorem 4sqlem14 13005
Description: Lemma for 4sq 13011. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
3 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
42, 3eqsstri 3208 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  NN
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
6 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
74, 6sseqtri 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 13004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1413simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 10301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
167, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
175, 16syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
184, 17sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918nnzd 10116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 prmz 12762 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2111, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
22 dvdsmul1 12550 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
2319, 21, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2624, 18, 254sqlem8 12992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2927, 18, 284sqlem8 12992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
30 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3124, 30syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3224, 18, 254sqlem5 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
3332simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
34 zsqcl2 11181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
3635nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
3731, 36zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ )
38 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3927, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
4027, 18, 284sqlem5 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4140simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
42 zsqcl2 11181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
4539, 44zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
46 dvds2add 12560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4719, 37, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4826, 29, 47mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
4924zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5049sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5127zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5251sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
5333zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
5453sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
5541zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
5655sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
5750, 52, 54, 56addsub4d 9204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
5848, 57breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6159, 18, 604sqlem8 12992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6462, 18, 634sqlem8 12992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
65 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6659, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6759, 18, 604sqlem5 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
6867simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
69 zsqcl2 11181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  NN0 )
7170nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
7266, 71zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ )
73 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7462, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7562, 18, 634sqlem5 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
7675simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
77 zsqcl2 11181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e. 
NN0 )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  NN0 )
7978nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
8074, 79zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
81 dvds2add 12560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8219, 72, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8361, 64, 82mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
8459zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8584sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8662zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8786sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
8868zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
8988sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
9076zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
9190sqcld 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
9285, 87, 89, 91addsub4d 9204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
9383, 92breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
9431, 39zaddcld 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9535, 43nn0addcld 10022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
9695nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9794, 96zsubcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
9866, 74zaddcld 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9970, 78nn0addcld 10022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10099nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
10198, 100zsubcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
102 dvds2add 12560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10319, 97, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10458, 93, 103mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105 4sq.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
106105oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
10750, 52addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
10885, 87addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
10954, 56addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
11089, 91addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
111107, 108, 109, 110addsub4d 9204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112106, 111eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113104, 112breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11419, 21zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  ZZ )
11596, 100zaddcld 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
116114, 115zsubcld 10122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )
117 dvds2sub 12561 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( M  x.  P )  /\  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11819, 114, 116, 117syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( M  x.  P
)  /\  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11923, 113, 118mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12018nncnd 9762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
121 prmnn 12761 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12211, 121syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
123122nncnd 9762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
124120, 123mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
125109, 110addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
126124, 125nncand 9162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
127119, 126breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
12818nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
12995, 99nn0addcld 10022 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
130129nn0zd 10115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
131 dvdsval2 12534 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
13219, 128, 130, 131syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
133127, 132mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ )
134129nn0red 10019 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
135129nn0ge0d 10021 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
13618nnred 9761 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
13718nngt0d 9789 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
138 divge0 9625 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
140 elnn0z 10036 . . 3  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  e.  NN0  <->  ( ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) ) )
141133, 139, 140sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  NN0 )
1421, 141syl5eqel 2367 1  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    mod cmo 10973   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  4sqlem17  13008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-gz 12977
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