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Theorem 4sqlem15 13022
Description: Lemma for 4sq 13027. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem15  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
32simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
41, 3syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
65resqcld 11287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
76rehalfcld 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
87rehalfcld 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
98recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
10 4sq.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
11 4sq.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1210, 4, 114sqlem5 13005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1312simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14 zsqcl 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1615zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
1716recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
18 4sq.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 4sq.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2018, 4, 194sqlem5 13005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2120simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
22 zsqcl 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2423zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
2524recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
269, 9, 17, 25addsub4d 9220 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
277recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
28272halvesd 9973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
2928oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3026, 29eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3130adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )
326recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
33322halvesd 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
3433adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^
2 ) )
355recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3635sqvald 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3736adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M
) )
38 4sq.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
39 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  R  =  M )
4038, 39syl5eqr 2342 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  M )
4140oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( M  x.  M ) )
4216, 24readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
43 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
44 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4543, 4, 444sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4645simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
47 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4948zred 10133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  RR )
50 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
51 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
5250, 4, 514sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
5352simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
54 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5655zred 10133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  RR )
5749, 56readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
5842, 57readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5958recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
604nnne0d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6159, 35, 60divcan1d 9553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  x.  M
)  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6337, 41, 623eqtr2rd 2335 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  ( M ^
2 ) )
6434, 63oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) ) )
6542recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
6657recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
6727, 27, 65, 66addsub4d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6932subidd 9161 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7069adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7164, 68, 703eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
727, 42resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR )
7310, 4, 114sqlem7 13007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7418, 4, 194sqlem7 13007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7516, 24, 8, 8, 73, 74le2addd 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
7675, 28breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
777, 42subge0d 9378 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  <-> 
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
7876, 77mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
797, 57resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8043, 4, 444sqlem7 13007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8150, 4, 514sqlem7 13007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8249, 56, 8, 8, 80, 81le2addd 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8382, 28breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
847, 57subge0d 9378 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
8583, 84mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
86 add20 9302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8772, 78, 79, 85, 86syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8887biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
8971, 88syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
9089simpld 445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  =  0 )
9131, 90eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )
928, 16resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
938, 16subge0d 9378 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  <-> 
( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9473, 93mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
958, 24resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
968, 24subge0d 9378 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9774, 96mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
98 add20 9302 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
9992, 94, 95, 97, 98syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
10099biimpa 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10191, 100syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10249recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
10356recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
1049, 9, 102, 103addsub4d 9220 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
10528oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
106104, 105eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
107106adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )
10889simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  0 )
109107, 108eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )
1108, 49resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR )
1118, 49subge0d 9378 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  <-> 
( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11280, 111mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
1138, 56resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
1148, 56subge0d 9378 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  <-> 
( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11581, 114mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
116 add20 9302 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
117110, 112, 113, 115, 116syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
118117biimpa 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
119109, 118syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
120101, 119jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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