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Theorem 4sqlem15 13329
Description: Lemma for 4sq 13334. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem15  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluz2b2 10550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
32simplbi 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
41, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54nnred 10017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
65resqcld 11551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
76rehalfcld 10216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
87rehalfcld 10216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
98recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
10 4sq.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
11 4sq.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1210, 4, 114sqlem5 13312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1312simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14 zsqcl 11454 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1615zred 10377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
1716recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
18 4sq.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 4sq.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2018, 4, 194sqlem5 13312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2120simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
22 zsqcl 11454 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2423zred 10377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
2524recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
269, 9, 17, 25addsub4d 9460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
277recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
28272halvesd 10215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
2928oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3026, 29eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3130adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )
326recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
33322halvesd 10215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
3433adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^
2 ) )
355recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3635sqvald 11522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3736adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M
) )
38 4sq.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
39 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  R  =  M )
4038, 39syl5eqr 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  M )
4140oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( M  x.  M ) )
4216, 24readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
43 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
44 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4543, 4, 444sqlem5 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4645simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
47 zsqcl 11454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4948zred 10377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  RR )
50 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
51 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
5250, 4, 514sqlem5 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
5352simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
54 zsqcl 11454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5655zred 10377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  RR )
5749, 56readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
5842, 57readdcld 9117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5958recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
604nnne0d 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6159, 35, 60divcan1d 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  x.  M
)  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6261adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6337, 41, 623eqtr2rd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  ( M ^
2 ) )
6434, 63oveq12d 6101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) ) )
6542recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
6657recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
6727, 27, 65, 66addsub4d 9460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6867adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6932subidd 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7069adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7164, 68, 703eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
727, 42resubcld 9467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR )
7310, 4, 114sqlem7 13314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7418, 4, 194sqlem7 13314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7516, 24, 8, 8, 73, 74le2addd 9646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
7675, 28breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
777, 42subge0d 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  <-> 
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
7876, 77mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
797, 57resubcld 9467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8043, 4, 444sqlem7 13314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8150, 4, 514sqlem7 13314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8249, 56, 8, 8, 80, 81le2addd 9646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8382, 28breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
847, 57subge0d 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
8583, 84mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
86 add20 9542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8772, 78, 79, 85, 86syl22anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8887biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
8971, 88syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
9089simpld 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  =  0 )
9131, 90eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )
928, 16resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
938, 16subge0d 9618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  <-> 
( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9473, 93mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
958, 24resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
968, 24subge0d 9618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9774, 96mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
98 add20 9542 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
9992, 94, 95, 97, 98syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
10099biimpa 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10191, 100syldan 458 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10249recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
10356recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
1049, 9, 102, 103addsub4d 9460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
10528oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
106104, 105eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
107106adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )
10889simprd 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  0 )
109107, 108eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )
1108, 49resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR )
1118, 49subge0d 9618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  <-> 
( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11280, 111mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
1138, 56resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
1148, 56subge0d 9618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  <-> 
( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11581, 114mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
116 add20 9542 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
117110, 112, 113, 115, 116syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
118117biimpa 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
119109, 118syldan 458 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
120101, 119jca 520 1  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   `'ccnv 4879   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    mod cmo 11252   ^cexp 11384   Primecprime 13081
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
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