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Theorem 4sqlem17 13024
Description: Lemma for 4sq 13027. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem17  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 4sq.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 4sq.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4 4sq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
5 4sq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
6 4sq.6 . . . . . . 7  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
7 4sq.7 . . . . . . 7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
8 4sq.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 4sq.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
10 4sq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 4sq.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
12 4sq.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
13 4sq.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
14 4sq.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
15 4sq.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
16 4sq.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
17 4sq.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
18 4sq.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 13023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  <_  M  /\  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) ) )
2019simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  <_  M )
21 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
226, 21eqsstri 3221 . . . . . . . 8  |-  T  C_  NN
23 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2422, 23sseqtri 3223 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 13020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
2625simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
27 infmssuzcl 10317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
2824, 26, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
297, 28syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
3022, 29sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3130nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3225simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <  P )
3331, 32ltned 8971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  P )
3430nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3534sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3635breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  ( M  x.  M ) 
||  ( M  x.  P ) ) )
3730nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
394, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
4030nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
41 dvdscmulr 12573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
4237, 39, 37, 40, 41syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
43 dvdsprm 12794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
448, 4, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
4536, 42, 443bitrd 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  M  =  P ) )
4645necon3bbid 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
)  <->  M  =/=  P
) )
4733, 46mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
)
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 13021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
49 elnn0 9983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0 ) )
5048, 49sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0
) )
5150ord 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  R  e.  NN  ->  R  = 
0 ) )
52 orc 374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  0  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M )
)
5319simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
5452, 53syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  ->  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
) )
5551, 54syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  R  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
5647, 55mt3d 117 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
57 gzreim 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [
_i ] )
589, 10, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [
_i ] )
59 gzcn 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B
) )  e.  CC )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
6160absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
629zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6310zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6462, 63crred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
6564oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
6662, 63crimd 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
6766oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
6865, 67oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
6961, 68eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
70 gzreim 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [
_i ] )
7111, 12, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [
_i ] )
72 gzcn 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D
) )  e.  CC )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
7473absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
7511zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
7612zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7775, 76crred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
7877oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
7975, 76crimd 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
8079oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
8178, 80oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
8274, 81eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
8369, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
8418, 83eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )
86 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
874, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
8887nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
8988, 34, 40divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  P )
9085, 89eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  P )
919, 30, 134sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
9291simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
9310, 30, 144sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
9493simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
95 gzreim 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ [
_i ] )
9692, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ [
_i ] )
97 gzcn 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( E  +  ( _i  x.  F
) )  e.  CC )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
9998absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) ) )
10092zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
10194zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
102100, 101crred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  E )
103102oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( E ^ 2 ) )
104100, 101crimd 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  F )
105104oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( F ^ 2 ) )
106103, 105oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
10799, 106eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
10811, 30, 154sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
109108simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
11012, 30, 164sqlem5 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
111110simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
112 gzreim 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ [
_i ] )
113109, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ [
_i ] )
114 gzcn 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( G  +  ( _i  x.  H
) )  e.  CC )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
116115absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) ) )
117109zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
118111zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  RR )
119117, 118crred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  G )
120119oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( G ^ 2 ) )
121117, 118crimd 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  H )
122121oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( H ^ 2 ) )
123120, 122oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
124116, 123eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
125107, 124oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
126125oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) )
127126, 17syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  R )
12890, 127oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( P  x.  R ) )
12956nncnd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
13088, 129mulcomd 8872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  x.  R
)  =  ( R  x.  P ) )
131128, 130eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( R  x.  P ) )
132 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )
133 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )
1349zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
135 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  e.  CC
13610zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
137 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
138135, 136, 137sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
13992zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
14094zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
141 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
142135, 140, 141sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
143134, 138, 139, 142addsub4d 9220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  (
_i  x.  F )
) ) )
144135a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
145144, 136, 140subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  =  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F ) ) )
146145oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F
) ) ) )
147143, 146eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) ) )
148147oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  /  M ) )
149134, 139subcld 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  E
)  e.  CC )
150136, 140subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  F
)  e.  CC )
151 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( B  -  F
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  -  F
) )  e.  CC )
152135, 150, 151sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  e.  CC )
153149, 152, 34, 40divdird 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F ) )  /  M ) ) )
154144, 150, 34, 40divassd 9587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( B  -  F
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )
155154oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F )
)  /  M ) )  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
156148, 153, 1553eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
15791simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ )
15893simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )
159 gzreim 13002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( B  -  F
)  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
160157, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )  e.  ZZ [
_i ] )
161156, 160eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
16211zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
16312zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
164 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
165135, 163, 164sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
166109zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
167111zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
168 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  H  e.  CC )  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
169135, 167, 168sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
170162, 165, 166, 169addsub4d 9220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  (
_i  x.  H )
) ) )
171144, 163, 167subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  =  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H ) ) )
172171oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H
) ) ) )
173170, 172eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) ) )
174173oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  /  M ) )
175162, 166subcld 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  G
)  e.  CC )
176163, 167subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  -  H
)  e.  CC )
177 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( D  -  H
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( D  -  H
) )  e.  CC )
178135, 176, 177sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  e.  CC )
179175, 178, 34, 40divdird 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H ) )  /  M ) ) )
180144, 176, 34, 40divassd 9587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( D  -  H
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )
181180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H )
)  /  M ) )  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
182174, 179, 1813eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
183108simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ )
184110simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )
185 gzreim 13002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( D  -  H
)  /  M ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
186183, 184, 185syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )  e.  ZZ [
_i ] )
187182, 186eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  e.  ZZ [
_i ] )
18887nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
18990, 188eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  e. 
NN0 )
1901, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189mul4sqlem 13016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
191131, 190eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  P
)  e.  S )
192 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  R  ->  (
i  x.  P )  =  ( R  x.  P ) )
193192eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  R  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( R  x.  P )  e.  S
) )
194193, 6elrab2 2938 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  T  <->  ( R  e.  NN  /\  ( R  x.  P )  e.  S ) )
19556, 191, 194sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  T )
196 infmssuzle 10316 . . . . . . 7  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  R  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  R
)
19724, 195, 196sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  R )
1987, 197syl5eqbr 4072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  R )
19956nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
200199, 31letri3d 8977 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  =  M  <-> 
( R  <_  M  /\  M  <_  R ) ) )
20120, 198, 200mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  M )
202201olcd 382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )
203202, 53mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P ) )
204203, 47pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735    || cdivides 12547   Primecprime 12774   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  4sqlem18  13025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-gz 12993
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