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Theorem 4sqlem2 13319
Description: Lemma for 4sq 13334. Change bound variables in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, n, w, x, y, z    A, a, b, c, d, n    S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
21eleq2i 2502 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) } )
3 id 21 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4 ovex 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  e. 
_V
53, 4syl6eqel 2526 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
76rexlimdvva 2839 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
87rexlimivv 2837 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
9 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
109oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1110oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1211eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
13122rexbidv 2750 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
14 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
1615oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1716eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
18172rexbidv 2750 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
1913, 18cbvrex2v 2943 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) )
20 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  c  ->  (
z ^ 2 )  =  ( c ^
2 ) )
2120oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )
2221oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( z  =  c  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  d  ->  (
w ^ 2 )  =  ( d ^
2 ) )
2524oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  d  ->  (
( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
2625oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  d  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
2726eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( w  =  d  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
2823, 27cbvrex2v 2943 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
30292rexbidv 2750 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3128, 30syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
32312rexbidv 2750 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3319, 32syl5bb 250 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
348, 33elab3 3091 . 2  |-  ( A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
352, 34bitri 242 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   E.wrex 2708   _Vcvv 2958  (class class class)co 6083    + caddc 8995   2c2 10051   ZZcz 10284   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  4sqlem3  13320  4sqlem4  13322  4sqlem18  13332  4sq  13334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086
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