MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem2 Unicode version

Theorem 4sqlem2 12996
Description: Lemma for 4sq 13011. Change bound variables in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, n, w, x, y, z    A, a, b, c, d, n    S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) } )
3 id 19 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  e. 
_V
53, 4syl6eqel 2371 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
76rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
87rexlimivv 2672 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
9 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
109oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1110oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1211eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
13122rexbidv 2586 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
1615oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1716eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
18172rexbidv 2586 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
1913, 18cbvrex2v 2773 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) )
20 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  c  ->  (
z ^ 2 )  =  ( c ^
2 ) )
2120oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( z  =  c  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  d  ->  (
w ^ 2 )  =  ( d ^
2 ) )
2524oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  d  ->  (
( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  d  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
2726eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( w  =  d  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
2823, 27cbvrex2v 2773 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
30292rexbidv 2586 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3128, 30syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
32312rexbidv 2586 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3319, 32syl5bb 248 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
348, 33elab3 2921 . 2  |-  ( A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
352, 34bitri 240 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788  (class class class)co 5858    + caddc 8740   2c2 9795   ZZcz 10024   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12997  4sqlem4  12999  4sqlem18  13009  4sq  13011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861
  Copyright terms: Public domain W3C validator