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Theorem 4sqlem4 13015
Description: Lemma for 4sq 13027. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem4  |-  ( A  e.  S  <->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    v, n, A, u    S, n, u, v    u, A
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
214sqlem2 13012 . . 3  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
3 gzreim 13002 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [
_i ] )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [
_i ] )
5 gzreim 13002 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [
_i ] )
65adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [
_i ] )
7 gzcn 12995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
83, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
98absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10 zre 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
11 zre 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
12 crre 11615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( Re `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  a )
1310, 11, 12syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  a )
1413oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( a ^ 2 ) )
15 crim 11616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  b )
1610, 11, 15syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  b )
1716oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( b ^ 2 ) )
1814, 17oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( a  +  ( _i  x.  b
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) ) )
199, 18eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
20 gzcn 12995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  e.  CC )
215, 20syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  CC )
2221absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23 zre 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ZZ  ->  c  e.  RR )
24 zre 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ZZ  ->  d  e.  RR )
25 crre 11615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( Re `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  c )
2623, 24, 25syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  c )
2726oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( c ^ 2 ) )
28 crim 11616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  d )
2923, 24, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  d )
3029oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( d ^ 2 ) )
3127, 30oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( c  +  ( _i  x.  d
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )
3222, 31eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
3319, 32oveqan12d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
3433eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( abs `  u )  =  ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) )
3635oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) )
3736oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
3837eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
39 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  ( abs `  v )  =  ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) )
4039oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( abs `  v
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
4241eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
4338, 42rspc2ev 2905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [ _i ]  /\  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ] 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
444, 6, 34, 43syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ] 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
45 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
46452rexbidv 2599 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  ( E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4744, 46syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4847rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4948rexlimivv 2685 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
502, 49sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
5114sqlem4a 13014 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ZZ [
_i ]  /\  v  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  e.  S
)
52 eleq1a 2365 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  e.  S  ->  ( A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S ) )
5351, 52syl 15 . . 3  |-  ( ( u  e.  ZZ [
_i ]  /\  v  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S ) )
5453rexlimivv 2685 . 2  |-  ( E. u  e.  ZZ [
_i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S )
5550, 54impbii 180 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   ZZcz 10040   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  mul4sq  13017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-gz 12993
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