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Theorem 4sqlem4 13322
Description: Lemma for 4sq 13334. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem4  |-  ( A  e.  S  <->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    v, n, A, u    S, n, u, v    u, A
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
214sqlem2 13319 . . 3  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
3 gzreim 13309 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [
_i ] )
43adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [
_i ] )
5 gzreim 13309 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [
_i ] )
65adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [
_i ] )
7 gzcn 13302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
83, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
98absvalsq2d 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10 zre 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
11 zre 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
12 crre 11921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( Re `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  a )
1310, 11, 12syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  a )
1413oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( a ^ 2 ) )
15 crim 11922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  b )
1610, 11, 15syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  b )
1716oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( b ^ 2 ) )
1814, 17oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( a  +  ( _i  x.  b
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) ) )
199, 18eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
20 gzcn 13302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  e.  CC )
215, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  CC )
2221absvalsq2d 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23 zre 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ZZ  ->  c  e.  RR )
24 zre 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ZZ  ->  d  e.  RR )
25 crre 11921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( Re `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  c )
2623, 24, 25syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  c )
2726oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( c ^ 2 ) )
28 crim 11922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  d )
2923, 24, 28syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  d )
3029oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( d ^ 2 ) )
3127, 30oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( c  +  ( _i  x.  d
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )
3222, 31eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
3319, 32oveqan12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
3433eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( abs `  u )  =  ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) )
3635oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) )
3736oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
3837eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  ( abs `  v )  =  ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) )
4039oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( abs `  v
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
4241eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
4338, 42rspc2ev 3062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ [ _i ]  /\  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ] 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
444, 6, 34, 43syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ] 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
45 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
46452rexbidv 2750 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  ( E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4744, 46syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4847rexlimdvva 2839 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4948rexlimivv 2837 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
502, 49sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
5114sqlem4a 13321 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ZZ [
_i ]  /\  v  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  e.  S
)
52 eleq1a 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  e.  S  ->  ( A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S ) )
5351, 52syl 16 . . 3  |-  ( ( u  e.  ZZ [
_i ]  /\  v  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S ) )
5453rexlimivv 2837 . 2  |-  ( E. u  e.  ZZ [
_i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S )
5550, 54impbii 182 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. u  e.  ZZ [ _i ]  E. v  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   E.wrex 2708   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997   2c2 10051   ZZcz 10284   ^cexp 11384   Recre 11904   Imcim 11905   abscabs 12041   ZZ [ _i ]cgz 13299
This theorem is referenced by:  mul4sq  13324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-gz 13300
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