MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem6 Unicode version

Theorem 4sqlem6 12990
Description: Lemma for 4sq 13011. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3 4sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
43zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 4sqlem5.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76rehalfcld 9958 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
84, 7readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
95nnrpd 10389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
108, 9modcld 10977 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
11 modge0 10980 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
128, 9, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
132, 10, 7, 12lesub1dd 9388 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  -  ( M  /  2 ) )  <_  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) )
14 df-neg 9040 . . 3  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
15 4sqlem5.4 . . 3  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1613, 14, 153brtr4g 4055 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
2 )  <_  B
)
17 modlt 10981 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
188, 9, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
195nncnd 9762 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
20192halvesd 9957 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
2118, 20breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  ( ( M  /  2 )  +  ( M  /  2
) ) )
2210, 7, 7ltsubaddd 9368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) )  <  ( M  /  2 )  <->  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  < 
( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) ) ) )
2321, 22mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  <  ( M  / 
2 ) )
2415, 23syl5eqbr 4056 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
2516, 24jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354    mod cmo 10973
This theorem is referenced by:  4sqlem7  12991  4sqlem10  12994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974
  Copyright terms: Public domain W3C validator