MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem8 Unicode version

Theorem 4sqlem8 12992
Description: Lemma for 4sq 13011. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem8
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 4sqlem5.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 4sqlem5.4 . . . . 5  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41, 2, 34sqlem5 12989 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
54simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
62nnzd 10116 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
72nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
84simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
91, 8zsubcld 10122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
10 dvdsval2 12534 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( A  -  B )  <->  ( ( A  -  B )  /  M )  e.  ZZ ) )
116, 7, 9, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( A  -  B )  <->  ( ( A  -  B
)  /  M )  e.  ZZ ) )
125, 11mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  M  ||  ( A  -  B ) )
131, 8zaddcld 10121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
14 dvdsmul2 12551 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) )
1513, 9, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
161zcnd 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
178zcnd 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
18 subsq 11210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
2015, 19breqtrrd 4049 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
21 zsqcl 11174 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
221, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
23 zsqcl 11174 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
248, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
2522, 24zsubcld 10122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
26 dvdstr 12562 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
276, 9, 25, 26syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
2812, 20, 27mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024    mod cmo 10973   ^cexp 11104    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  4sqlem14  13005  2sqlem8  20611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator