MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem9 13314
Description: Lemma for 4sq 13332. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem9.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
52, 3, 44sqlem5 13310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
65simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
76zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 sqeq0 11446 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  =  0  <-> 
B  =  0 ) )
109biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  ->  B  =  0 )
111, 10syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  0 )
1211oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  ( A  -  0 ) )
132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
1413zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
1514subid1d 9400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1612, 15eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  A )
1716oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  =  ( A  /  M ) )
185simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
1918adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
2017, 19eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  /  M
)  e.  ZZ )
213nnzd 10374 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
223nnne0d 10044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
23 dvdsval2 12855 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2421, 22, 2, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2524adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2620, 25mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  A )
2721adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
28 dvdssq 13060 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
2927, 13, 28syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
3026, 29mpbid 202 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282    mod cmo 11250   ^cexp 11382    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13328  2sqlem8a  21155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007
  Copyright terms: Public domain W3C validator