MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Unicode version

Theorem 4sqlem9 12993
Description: Lemma for 4sq 13011. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem9.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
52, 3, 44sqlem5 12989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
65simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
76zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 sqeq0 11168 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  =  0  <-> 
B  =  0 ) )
109biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  ->  B  =  0 )
111, 10syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  0 )
1211oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  ( A  -  0 ) )
132adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
1413zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
1514subid1d 9146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1612, 15eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  A )
1716oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  =  ( A  /  M ) )
185simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
2017, 19eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  /  M
)  e.  ZZ )
213nnzd 10116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
223nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
23 dvdsval2 12534 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2421, 22, 2, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2524adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2620, 25mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  A )
2721adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
28 dvdssq 12739 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
2927, 13, 28syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
3026, 29mpbid 201 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024    mod cmo 10973   ^cexp 11104    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13007  2sqlem8a  20610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686
  Copyright terms: Public domain W3C validator