MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4t3lem Unicode version

Theorem 4t3lem 10386
Description: Lemma for 4t3e12 10387 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
4t3lem.1  |-  A  e. 
NN0
4t3lem.2  |-  B  e. 
NN0
4t3lem.3  |-  C  =  ( B  +  1 )
4t3lem.4  |-  ( A  x.  B )  =  D
4t3lem.5  |-  ( D  +  A )  =  E
Assertion
Ref Expression
4t3lem  |-  ( A  x.  C )  =  E

Proof of Theorem 4t3lem
StepHypRef Expression
1 4t3lem.3 . . 3  |-  C  =  ( B  +  1 )
21oveq2i 6032 . 2  |-  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  ( B  +  1 ) )
3 4t3lem.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
NN0
43nn0cni 10166 . . . . 5  |-  A  e.  CC
5 4t3lem.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
NN0
65nn0cni 10166 . . . . 5  |-  B  e.  CC
7 ax-1cn 8982 . . . . 5  |-  1  e.  CC
84, 6, 7adddii 9034 . . . 4  |-  ( A  x.  ( B  + 
1 ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  1 ) )
9 4t3lem.4 . . . . 5  |-  ( A  x.  B )  =  D
104mulid1i 9026 . . . . 5  |-  ( A  x.  1 )  =  A
119, 10oveq12i 6033 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( D  +  A
)
128, 11eqtri 2408 . . 3  |-  ( A  x.  ( B  + 
1 ) )  =  ( D  +  A
)
13 4t3lem.5 . . 3  |-  ( D  +  A )  =  E
1412, 13eqtri 2408 . 2  |-  ( A  x.  ( B  + 
1 ) )  =  E
152, 14eqtri 2408 1  |-  ( A  x.  C )  =  E
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929   NN0cn0 10154
This theorem is referenced by:  4t3e12  10387  4t4e16  10388  5t3e15  10389  5t4e20  10390  5t5e25  10391  6t3e18  10393  6t4e24  10394  6t5e30  10395  6t6e36  10396  7t3e21  10398  7t4e28  10399  7t5e35  10400  7t6e42  10401  7t7e49  10402  8t3e24  10404  8t4e32  10405  8t5e40  10406  8t6e48  10407  8t7e56  10408  8t8e64  10409  9t3e27  10411  9t4e36  10412  9t5e45  10413  9t6e54  10414  9t7e63  10415  9t8e72  10416  9t9e81  10417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-nn 9934  df-n0 10155
  Copyright terms: Public domain W3C validator