Theorem 5oalem1 9594

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	|- A e. SH
5oalem1.2	|- B e. SH
5oalem1.3	|- C e. SH
5oalem1.4	|- R e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	|- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> v e. (B +H (A i^i (C +H R))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem1.1	. . . . . 6 |- A e. SH
2		5oalem1.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
3		5oalem1.4	. . . . . . 7 |- R e. SH
4	2, 3	shscl 9276	. . . . . 6 |- (C +H R) e. SH
5	1, 4	shincl 9326	. . . . 5 |- (A i^i (C +H R)) e. SH
6		5oalem1.2	. . . . 5 |- B e. SH
7	5, 6	shsva 9328	. . . 4 |- ((x e. (A i^i (C +H R)) /\ y e. B) -> (x +h y) e. ((A i^i (C +H R)) +H B))
8	5, 6	shscom 9327	. . . 4 |- ((A i^i (C +H R)) +H B) = (B +H (A i^i (C +H R)))
9	7, 8	syl6eleq 1561	. . 3 |- ((x e. (A i^i (C +H R)) /\ y e. B) -> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R))))
10		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. A)
11	10	ad2antrr 406	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. A)
12		hvaddsub12t 8902	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ z e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = (z +h (x -h z)))
13	12	3anidm23 886	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = (z +h (x -h z)))
14		hvsubidt 8890	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (z -h z) = 0h)
15	14	opreq2d 3982	. . . . . . . . 9 |- (z e. H~ -> (x +h (z -h z)) = (x +h 0h))
16		ax-hvaddid 8869	. . . . . . . . 9 |- (x e. H~ -> (x +h 0h) = x)
17	15, 16	sylan9eqr 1532	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h (z -h z)) = x)
18	13, 17	eqtr3d 1512	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (z +h (x -h z)) = x)
19	1	shel 9077	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> x e. H~)
20	19	ad2antrr 406	. . . . . . 7 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) -> x e. H~)
21	2	shel 9077	. . . . . . . 8 |- (z e. C -> z e. H~)
22	21	adantr 391	. . . . . . 7 |- ((z e. C /\ (x -h z) e. R) -> z e. H~)
23	18, 20, 22	syl2an 456	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (z +h (x -h z)) = x)
24	2, 3	shsva 9328	. . . . . . 7 |- ((z e. C /\ (x -h z) e. R) -> (z +h (x -h z)) e. (C +H R))
25	24	adantl 390	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (z +h (x -h z)) e. (C +H R))
26	23, 25	eqeltrrd 1552	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. (C +H R))
27	11, 26	jca 288	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (x e. A /\ x e. (C +H R)))
28		elin 2210	. . . 4 |- (x e. (A i^i (C +H R)) <-> (x e. A /\ x e. (C +H R)))
29	27, 28	sylibr 200	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> x e. (A i^i (C +H R)))
30		pm3.27 323	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> y e. B)
31	30	ad2antrr 406	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> y e. B)
32	9, 29, 31	sylanc 473	. 2 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R))))
33		eleq1 1537	. . 3 |- (v = (x +h y) -> (v e. (B +H (A i^i (C +H R))) <-> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R)))))
34	33	ad2antlr 407	. 2 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> (v e. (B +H (A i^i (C +H R))) <-> (x +h y) e. (B +H (A i^i (C +H R)))))
35	32, 34	mpbird 196	1 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ v = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. R)) -> v e. (B +H (A i^i (C +H R))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   i^i cin 2049  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786   -h cmv 8787  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  5oalem6 9599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain