Theorem 5oalem3 9596

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	|- A e. SH
5oalem3.2	|- B e. SH
5oalem3.3	|- C e. SH
5oalem3.4	|- D e. SH
5oalem3.5	|- F e. SH
5oalem3.6	|- G e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	|- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem3.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2		5oalem3.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
3		5oalem3.5	. . . . . . 7 |- F e. SH
4		5oalem3.6	. . . . . . 7 |- G e. SH
5	1, 2, 3, 4	5oalem2 9595	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +h y) = (f +h g)) -> (x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)))
6		5oalem3.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
7		5oalem3.4	. . . . . . 7 |- D e. SH
8	6, 7, 3, 4	5oalem2 9595	. . . . . 6 |- ((((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +h w) = (f +h g)) -> (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G)))
9	5, 8	anim12i 333	. . . . 5 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +h y) = (f +h g)) /\ (((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
10	9	an4s 510	. . . 4 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
11		anandir 513	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) <-> (((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))))
12	10, 11	sylanb 451	. . 3 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
13	1, 3	shscl 9276	. . . . 5 |- (A +H F) e. SH
14	2, 4	shscl 9276	. . . . 5 |- (B +H G) e. SH
15	13, 14	shincl 9326	. . . 4 |- ((A +H F) i^i (B +H G)) e. SH
16	6, 3	shscl 9276	. . . . 5 |- (C +H F) e. SH
17	7, 4	shscl 9276	. . . . 5 |- (D +H G) e. SH
18	16, 17	shincl 9326	. . . 4 |- ((C +H F) i^i (D +H G)) e. SH
19	15, 18	shsvs 9331	. . 3 |- (((x -h f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -h f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))) -> ((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
20	12, 19	syl 10	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> ((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
21		hvsubsub4t 8922	. . . . . . 7 |- (((x e. H~ /\ f e. H~) /\ (z e. H~ /\ f e. H~)) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = ((x -h z) -h (f -h f)))
22	21	anandirs 515	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = ((x -h z) -h (f -h f)))
23		hvsubidt 8890	. . . . . . . 8 |- (f e. H~ -> (f -h f) = 0h)
24	23	opreq2d 3982	. . . . . . 7 |- (f e. H~ -> ((x -h z) -h (f -h f)) = ((x -h z) -h 0h))
25	24	adantl 390	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h z) -h (f -h f)) = ((x -h z) -h 0h))
26		hvsubclt 8882	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x -h z) e. H~)
27		hvsub0t 8938	. . . . . . . 8 |- ((x -h z) e. H~ -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
29	28	adantr 391	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h z) -h 0h) = (x -h z))
30	22, 25, 29	3eqtrd 1514	. . . . 5 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = (x -h z))
31	1	shel 9077	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x e. H~)
32	31	adantr 391	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. H~)
33	6	shel 9077	. . . . . . 7 |- (z e. C -> z e. H~)
34	33	adantr 391	. . . . . 6 |- ((z e. C /\ w e. D) -> z e. H~)
35	32, 34	anim12i 333	. . . . 5 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> (x e. H~ /\ z e. H~))
36	3	shel 9077	. . . . . 6 |- (f e. F -> f e. H~)
37	36	adantr 391	. . . . 5 |- ((f e. F /\ g e. G) -> f e. H~)
38	30, 35, 37	syl2an 456	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> ((x -h f) -h (z -h f)) = (x -h z))
39	38	eleq1d 1543	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> (((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
40	39	adantr 391	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (((x -h f) -h (z -h f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
41	20, 40	mpbid 195	1 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +h y) = (f +h g) /\ (z +h w) = (f +h g))) -> (x -h z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   i^i cin 2049  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786   -h cmv 8787  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  5oalem4 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain