HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Unicode version

Theorem 5oalem5 23162
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem5  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )
21anim2i 554 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )
3 simpl 445 . . 3  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) ) )
4 5oalem5.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
5 5oalem5.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
6 5oalem5.3 . . . 4  |-  C  e.  SH
7 5oalem5.4 . . . 4  |-  D  e.  SH
8 5oalem5.7 . . . 4  |-  R  e.  SH
9 5oalem5.8 . . . 4  |-  S  e.  SH
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 23161 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
x  -h  z )  e.  ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) ) )
112, 3, 10syl2an 465 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) ) )
124sheli 22718 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
1312adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  ~H )
146sheli 22718 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  C  ->  z  e.  ~H )
1514adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  ->  z  e.  ~H )
1613, 15anim12i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  C  /\  w  e.  D ) )  -> 
( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8  |-  F  e.  SH
1817sheli 22718 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  F  ->  f  e.  ~H )
1918adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  ->  f  e.  ~H )
20 hvsubsub4 22564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  f )  -h  ( z  -h  f ) )  =  ( ( x  -h  z )  -h  (
f  -h  f ) ) )
2120anandirs 806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  f )  -h  ( z  -h  f
) )  =  ( ( x  -h  z
)  -h  ( f  -h  f ) ) )
22 hvsubid 22530 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
f  -h  f )  =  0h )
2322oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( x  -h  z
)  -h  ( f  -h  f ) )  =  ( ( x  -h  z )  -h 
0h ) )
24 hvsubcl 22522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  -h  z
)  e.  ~H )
25 hvsub0 22580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  z )  e.  ~H  ->  (
( x  -h  z
)  -h  0h )  =  ( x  -h  z ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  z )  -h  0h )  =  ( x  -h  z ) )
2723, 26sylan9eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  z )  -h  ( f  -h  f
) )  =  ( x  -h  z ) )
2821, 27eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  f )  -h  ( z  -h  f
) )  =  ( x  -h  z ) )
2916, 19, 28syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
3029adantrr 699 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
3130adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
32 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )
3332anim2i 554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )
34 anandir 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
) ) )
3533, 34sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( (
z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) ) ) )
36 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )
3735, 36jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )
38 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u ) )
3938anim1i 553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
40 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  ->  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )
4140anim1i 553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
4239, 41jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )
43 anandir 804 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( (
z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  <->  ( (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) ) )
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9  |-  G  e.  SH
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 23161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 23161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )
4745, 46anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( (
x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  /\  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  /\  (
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  (
( x  -h  f
)  e.  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
4847an4s 801 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
4943, 48sylanb 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
5037, 42, 49syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  (
z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
514, 17shscli 22821 . . . . . . 7  |-  ( A  +H  F )  e.  SH
525, 44shscli 22821 . . . . . . 7  |-  ( B  +H  G )  e.  SH
5351, 52shincli 22866 . . . . . 6  |-  ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  e.  SH
544, 8shscli 22821 . . . . . . . 8  |-  ( A  +H  R )  e.  SH
555, 9shscli 22821 . . . . . . . 8  |-  ( B  +H  S )  e.  SH
5654, 55shincli 22866 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  e.  SH
5717, 8shscli 22821 . . . . . . . 8  |-  ( F  +H  R )  e.  SH
5844, 9shscli 22821 . . . . . . . 8  |-  ( G  +H  S )  e.  SH
5957, 58shincli 22866 . . . . . . 7  |-  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) )  e.  SH
6056, 59shscli 22821 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  R
)  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
6153, 60shincli 22866 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
626, 17shscli 22821 . . . . . . 7  |-  ( C  +H  F )  e.  SH
637, 44shscli 22821 . . . . . . 7  |-  ( D  +H  G )  e.  SH
6462, 63shincli 22866 . . . . . 6  |-  ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  e.  SH
656, 8shscli 22821 . . . . . . . 8  |-  ( C  +H  R )  e.  SH
667, 9shscli 22821 . . . . . . . 8  |-  ( D  +H  S )  e.  SH
6765, 66shincli 22866 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  e.  SH
6867, 59shscli 22821 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
6964, 68shincli 22866 . . . . 5  |-  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
7061, 69shsvsi 22871 . . . 4  |-  ( ( ( x  -h  f
)  e.  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  -h  ( z  -h  f ) )  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7150, 70syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7231, 71eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
73 elin 3532 . 2  |-  ( ( x  -h  z )  e.  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( x  -h  z )  e.  ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  /\  (
x  -h  z )  e.  ( ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )
7411, 72, 73sylanbrc 647 1  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321  (class class class)co 6083   ~Hchil 22424    +h cva 22425   0hc0v 22429    -h cmv 22430   SHcsh 22433    +H cph 22436
This theorem is referenced by:  5oalem6  23163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hvcom 22506  ax-hvass 22507  ax-hv0cl 22508  ax-hvaddid 22509  ax-hfvmul 22510  ax-hvmulid 22511  ax-hvmulass 22512  ax-hvdistr1 22513  ax-hvdistr2 22514  ax-hvmul0 22515
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-grpo 21781  df-ablo 21872  df-hvsub 22476  df-hlim 22477  df-sh 22711  df-ch 22726  df-shs 22812
  Copyright terms: Public domain W3C validator