HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem6 Unicode version

Theorem 5oalem6 23114
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem6  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem6
StepHypRef Expression
1 an4 798 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( h  =  ( x  +h  y )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) ) )
2 an4 798 . . . 4  |-  ( ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( h  =  ( f  +h  g )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )
3 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( x  +h  y )  ->  (
h  =  ( v  +h  u )  <->  ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u ) ) )
43biimpcd 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( v  +h  u )  ->  (
h  =  ( x  +h  y )  -> 
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u ) ) )
5 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( z  +h  w )  ->  (
h  =  ( v  +h  u )  <->  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) ) )
65biimpcd 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( v  +h  u )  ->  (
h  =  ( z  +h  w )  -> 
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) ) )
74, 6anim12d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( v  +h  u )  ->  (
( h  =  ( x  +h  y )  /\  h  =  ( z  +h  w ) )  ->  ( (
x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  (
z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) ) ) )
8 eqeq1 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( f  +h  g )  ->  (
h  =  ( v  +h  u )  <->  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )
98biimpcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( v  +h  u )  ->  (
h  =  ( f  +h  g )  -> 
( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
107, 9anim12d 547 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( v  +h  u )  ->  (
( ( h  =  ( x  +h  y
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  -> 
( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) ) )
1110exp3acom3r 1376 . . . . . . 7  |-  ( ( h  =  ( x  +h  y )  /\  h  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( h  =  ( f  +h  g )  ->  ( h  =  ( v  +h  u
)  ->  ( (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
1211imp32 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( h  =  ( x  +h  y )  /\  h  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( h  =  ( f  +h  g )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  (
z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
1312anim2i 553 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( h  =  ( x  +h  y
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) )  /\  (
h  =  ( f  +h  g )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) ) )
1413an4s 800 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( h  =  ( x  +h  y )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  /\  (
h  =  ( f  +h  g )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) ) )
151, 2, 14syl2anb 466 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  C  /\  w  e.  D
) )  /\  (
( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  (
z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) ) )
16 5oalem5.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
17 5oalem5.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
18 5oalem5.3 . . . 4  |-  C  e.  SH
19 5oalem5.4 . . . 4  |-  D  e.  SH
20 5oalem5.5 . . . 4  |-  F  e.  SH
21 5oalem5.6 . . . 4  |-  G  e.  SH
22 5oalem5.7 . . . 4  |-  R  e.  SH
23 5oalem5.8 . . . 4  |-  S  e.  SH
2416, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 235oalem5 23113 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )
2515, 24syl 16 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )
2616, 18shscli 22772 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +H  C )  e.  SH
2717, 19shscli 22772 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
2826, 27shincli 22817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  e.  SH
2916, 22shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +H  R )  e.  SH
3017, 23shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  S )  e.  SH
3129, 30shincli 22817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  e.  SH
3218, 22shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  +H  R )  e.  SH
3319, 23shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  S )  e.  SH
3432, 33shincli 22817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  e.  SH
3531, 34shscli 22772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +H  R
)  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) )  e.  SH
3628, 35shincli 22817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  e.  SH
3716, 20shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +H  F )  e.  SH
3817, 21shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  G )  e.  SH
3937, 38shincli 22817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  e.  SH
4020, 22shscli 22772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  +H  R )  e.  SH
4121, 23shscli 22772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  +H  S )  e.  SH
4240, 41shincli 22817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) )  e.  SH
4331, 42shscli 22772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +H  R
)  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
4439, 43shincli 22817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
4518, 20shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  +H  F )  e.  SH
4619, 21shscli 22772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  G )  e.  SH
4745, 46shincli 22817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  e.  SH
4834, 42shscli 22772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
4947, 48shincli 22817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
5044, 49shscli 22772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )  e.  SH
5136, 50shincli 22817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )  e.  SH
5216, 17, 18, 515oalem1 23109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( z  e.  C  /\  ( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
5352expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  z  e.  C )  ->  ( ( x  -h  z )  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
5453adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( z  e.  C  /\  w  e.  D
) )  ->  (
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
5554adantrr 698 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  ->  ( ( x  -h  z )  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
5655adantr 452 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( ( x  -h  z )  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
5725, 56mpd 15 1  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279  (class class class)co 6040    +h cva 22376    -h cmv 22381   SHcsh 22384    +H cph 22387
This theorem is referenced by:  5oalem7  23115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-grpo 21732  df-ablo 21823  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-sh 22662  df-ch 22677  df-shs 22763
  Copyright terms: Public domain W3C validator