MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6p5lem Unicode version

Theorem 6p5lem 10173
Description: Lemma for 6p5e11 10174 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
6p5lem.1  |-  A  e. 
NN0
6p5lem.2  |-  D  e. 
NN0
6p5lem.3  |-  E  e. 
NN0
6p5lem.4  |-  B  =  ( D  +  1 )
6p5lem.5  |-  C  =  ( E  +  1 )
6p5lem.6  |-  ( A  +  D )  = ; 1 E
Assertion
Ref Expression
6p5lem  |-  ( A  +  B )  = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem
StepHypRef Expression
1 6p5lem.4 . . 3  |-  B  =  ( D  +  1 )
21oveq2i 5869 . 2  |-  ( A  +  B )  =  ( A  +  ( D  +  1 ) )
3 6p5lem.1 . . . 4  |-  A  e. 
NN0
43nn0cni 9977 . . 3  |-  A  e.  CC
5 6p5lem.2 . . . 4  |-  D  e. 
NN0
65nn0cni 9977 . . 3  |-  D  e.  CC
7 ax-1cn 8795 . . 3  |-  1  e.  CC
84, 6, 7addassi 8845 . 2  |-  ( ( A  +  D )  +  1 )  =  ( A  +  ( D  +  1 ) )
9 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
10 6p5lem.3 . . 3  |-  E  e. 
NN0
11 6p5lem.5 . . . 4  |-  C  =  ( E  +  1 )
1211eqcomi 2287 . . 3  |-  ( E  +  1 )  =  C
13 6p5lem.6 . . 3  |-  ( A  +  D )  = ; 1 E
149, 10, 12, 13decsuc 10147 . 2  |-  ( ( A  +  D )  +  1 )  = ; 1 C
152, 8, 143eqtr2i 2309 1  |-  ( A  +  B )  = ; 1 C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965  ;cdc 10124
This theorem is referenced by:  6p5e11  10174  6p6e12  10175  7p4e11  10176  7p5e12  10177  7p6e13  10178  7p7e14  10179  8p3e11  10180  8p4e12  10181  8p5e13  10182  8p6e14  10183  8p7e15  10184  8p8e16  10185  9p2e11  10186  9p3e12  10187  9p4e13  10188  9p5e14  10189  9p6e15  10190  9p7e16  10191  9p8e17  10192  9p9e18  10193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-dec 10125
  Copyright terms: Public domain W3C validator