Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  6rexfrabdioph Unicode version

Theorem 6rexfrabdioph 26983
 Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, six variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1
rexfrabdioph.2
rexfrabdioph.3
rexfrabdioph.4
rexfrabdioph.5
rexfrabdioph.6
Assertion
Ref Expression
6rexfrabdioph Dioph Dioph
Distinct variable groups:   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,)

Proof of Theorem 6rexfrabdioph
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . 8
21resex 5011 . . . . . . 7
3 fvex 5555 . . . . . . . . 9
4 fvex 5555 . . . . . . . . . 10
5 sbc4rexg 26969 . . . . . . . . . 10
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . 9
73, 6sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . 8
8 sbc4rexg 26969 . . . . . . . . 9
93, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8
107, 9bitri 240 . . . . . . 7
112, 10sbcbiiiOLD 26970 . . . . . 6
12 sbc4rexg 26969 . . . . . . 7
132, 12ax-mp 8 . . . . . 6
1411, 13bitri 240 . . . . 5
1514a1i 10 . . . 4
1615rabbiia 2791 . . 3
17 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7
18 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9
19 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . 9
2018, 19syl5eqel 2380 . . . . . . . 8
2120peano2nnd 9779 . . . . . . 7
2217, 21syl5eqel 2380 . . . . . 6
2322nnnn0d 10034 . . . . 5
2423adantr 451 . . . 4 Dioph
25 vex 2804 . . . . . . . . . 10
2625resex 5011 . . . . . . . . 9
27 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
28 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
29 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
30 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
314, 27, 28, 29, 30sbcrot5OLD 26976 . . . . . . . . . . . . 13
323, 31sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . . . . . 12
333, 27, 28, 29, 30sbcrot5OLD 26976 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33bitri 240 . . . . . . . . . . 11
352, 34sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . . . 10
362, 27, 28, 29, 30sbcrot5OLD 26976 . . . . . . . . . 10
3735, 36bitri 240 . . . . . . . . 9
3826, 37sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . 8
3926resex 5011 . . . . . . . . . 10
40 reseq1 4965 . . . . . . . . . . 11
4140sbccomiegOLD 26977 . . . . . . . . . 10
4226, 39, 41mp2an 653 . . . . . . . . 9
43 fzssp1 10850 . . . . . . . . . . . . 13
4418oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . 12
46 fzssp1 10850 . . . . . . . . . . . . 13
4717oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . 12
4945, 48sstri 3201 . . . . . . . . . . 11
50 resabs1 5000 . . . . . . . . . . 11
51 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . 11
5249, 50, 51mp2b 9 . . . . . . . . . 10
53 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13
54 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14
5554sbccomiegOLD 26977 . . . . . . . . . . . . 13
5626, 53, 55mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12
57 elfz1end 10836 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5820, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
5948, 58sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14
60 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14
61 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . . 14
6259, 60, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
634ax-gen 1536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564sbcco3gOLD 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6626, 63, 65mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 elfz1end 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6822, 67sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
7266, 71syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14
7372sbcbidv 3058 . . . . . . . . . . . . 13
7462, 73bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12
7556, 74syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11
7675sbcbidv 3058 . . . . . . . . . 10
7752, 76syl5bb 248 . . . . . . . . 9
7842, 77syl5bb 248 . . . . . . . 8
7938, 78syl5bbr 250 . . . . . . 7
8079rabbidv 2793 . . . . . 6
8180eleq1d 2362 . . . . 5 Dioph Dioph
8281biimpar 471 . . . 4 Dioph Dioph
83 rexfrabdioph.3 . . . . 5
84 rexfrabdioph.4 . . . . 5
85 rexfrabdioph.5 . . . . 5
86 rexfrabdioph.6 . . . . 5
8783, 84, 85, 864rexfrabdioph 26982 . . . 4 Dioph Dioph
8824, 82, 87syl2anc 642 . . 3 Dioph Dioph
8916, 88syl5eqel 2380 . 2 Dioph Dioph
9018, 172rexfrabdioph 26980 . 2 Dioph Dioph
9189, 90syldan 456 1 Dioph Dioph
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1530   wceq 1632   wcel 1696  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801  wsbc 3004   wss 3165   cres 4707  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmap 6788  c1 8754   caddc 8756  cn 9762  cn0 9981  cfz 10798  Diophcdioph 26937 This theorem is referenced by:  7rexfrabdioph  26984 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905  df-dioph 26938
 Copyright terms: Public domain W3C validator