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Theorem 6rexfrabdioph 26813
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, six variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
rexfrabdioph.5  |-  I  =  ( J  +  1 )
rexfrabdioph.6  |-  H  =  ( I  +  1 )
Assertion
Ref Expression
6rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
Distinct variable groups:    u, t,
v, w, x, y, z, p, H    t, I, u, v, w, x, y, z, p    t, J, u, v, w, x, y, z, p    t, K, u, v, w, x, y, z, p    t, L, u, v, w, x, y, z, p    t, M, u, v, w, x, y, z, p    t, N, u, v, w, x, y, z, p    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, p)

Proof of Theorem 6rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( a `
 L )  e. 
_V
2 sbc4rexg 26799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a `  L )  e.  _V  ->  ( [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
43sbcbii 3208 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  [. ( a `  M )  /  v ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
5 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 M )  e. 
_V
6 sbc4rexg 26799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  M )  e.  _V  ->  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
84, 7bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
98sbcbii 3208 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
10 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
1110resex 5178 . . . . . . 7  |-  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
12 sbc4rexg 26799 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
)
1311, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
149, 13bitri 241 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph ) )
1615rabbiia 2938 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }
17 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7  |-  L  =  ( M  +  1 )
18 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( N  +  1 )
19 nn0p1nn 10249 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
2120peano2nnd 10007 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2217, 21syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  NN )
2322nnnn0d 10264 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e. 
NN0 )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  L  e.  NN0 )
25 sbcrot5 26802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
2625sbcbii 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
27 sbcrot5 26802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
2826, 27bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
2928sbcbii 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
30 sbcrot5 26802 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
3129, 30bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
3231sbcbii 3208 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
33 reseq1 5132 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
3433sbccomieg 26803 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph )
35 fzssp1 11085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3618oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3735, 36sseqtr4i 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
38 fzssp1 11085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
3917oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... L )  =  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
4038, 39sseqtr4i 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... L
)
4137, 40sstri 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... L
)
42 resabs1 5167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
43 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph )
45 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
) )
4645sbccomieg 26803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph )
47 elfz1end 11071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4820, 47sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4940, 48sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... L
) )
50 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
51 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
53 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  t  e. 
_V
5453resex 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  e.  _V
551ax-gen 1555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. a
( a `  L
)  e.  _V
56 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  L )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
) )
5756sbcco3gOLD 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  e.  _V  /\  A. a ( a `  L )  e.  _V )  ->  ( [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
5854, 55, 57mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph )
59 elfz1end 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN  <->  L  e.  ( 1 ... L
) )
6022, 59sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  ( 1 ... L
) )
61 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
) )
62 dfsbcq 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph ) )
6360, 61, 623syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph ) )
6458, 63syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6564sbcbidv 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6652, 65bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6746, 66syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6867sbcbidv 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
6944, 68syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
7034, 69syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
7132, 70syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
7271rabbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... H
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... H ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph } )
7372eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  H )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... H ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) ) )
7473biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... H ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )
75 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
76 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
77 rexfrabdioph.5 . . . . 5  |-  I  =  ( J  +  1 )
78 rexfrabdioph.6 . . . . 5  |-  H  =  ( I  +  1 )
7975, 76, 77, 784rexfrabdioph 26812 . . . 4  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L ) )
8024, 74, 79syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L ) )
8116, 80syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  L ) )
8218, 172rexfrabdioph 26810 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  L ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
8381, 82syldan 457 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153    C_ wss 3312    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   1c1 8981    + caddc 8983   NNcn 9990   NN0cn0 10211   ...cfz 11033  Diophcdioph 26767
This theorem is referenced by:  7rexfrabdioph  26814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-hash 11609  df-mzpcl 26734  df-mzp 26735  df-dioph 26768
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