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Theorem 6rexfrabdioph 26552
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, six variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
rexfrabdioph.5  |-  I  =  ( J  +  1 )
rexfrabdioph.6  |-  H  =  ( I  +  1 )
Assertion
Ref Expression
6rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
Distinct variable groups:    u, t,
v, w, x, y, z, p, H    t, I, u, v, w, x, y, z, p    t, J, u, v, w, x, y, z, p    t, K, u, v, w, x, y, z, p    t, L, u, v, w, x, y, z, p    t, M, u, v, w, x, y, z, p    t, N, u, v, w, x, y, z, p    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, p)

Proof of Theorem 6rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( a `
 L )  e. 
_V
2 sbc4rexg 26538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a `  L )  e.  _V  ->  ( [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
43sbcbii 3161 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  [. ( a `  M )  /  v ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
5 fvex 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 M )  e. 
_V
6 sbc4rexg 26538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  M )  e.  _V  ->  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
84, 7bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
98sbcbii 3161 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
10 vex 2904 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
1110resex 5128 . . . . . . 7  |-  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
12 sbc4rexg 26538 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
)
1311, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
149, 13bitri 241 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph ) )
1615rabbiia 2891 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }
17 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7  |-  L  =  ( M  +  1 )
18 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( N  +  1 )
19 nn0p1nn 10193 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl5eqel 2473 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
2120peano2nnd 9951 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2217, 21syl5eqel 2473 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  NN )
2322nnnn0d 10208 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e. 
NN0 )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  L  e.  NN0 )
25 sbcrot5 26541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
2625sbcbii 3161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
27 sbcrot5 26541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
2826, 27bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph )
2928sbcbii 3161 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
30 sbcrot5 26541 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
3129, 30bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
3231sbcbii 3161 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
33 reseq1 5082 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
3433sbccomieg 26542 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph )
35 fzssp1 11029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3618oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3735, 36sseqtr4i 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
38 fzssp1 11029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
3917oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... L )  =  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
4038, 39sseqtr4i 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... L
)
4137, 40sstri 3302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... L
)
42 resabs1 5117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
43 dfsbcq 3108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph )
45 fveq1 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
) )
4645sbccomieg 26542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph )
47 elfz1end 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4820, 47sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4940, 48sseldi 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... L
) )
50 fvres 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
51 dfsbcq 3108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
53 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  t  e. 
_V
5453resex 5128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  e.  _V
551ax-gen 1552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. a
( a `  L
)  e.  _V
56 fveq1 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  L )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
) )
5756sbcco3gOLD 3251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  e.  _V  /\  A. a ( a `  L )  e.  _V )  ->  ( [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
5854, 55, 57mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph )
59 elfz1end 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN  <->  L  e.  ( 1 ... L
) )
6022, 59sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  ( 1 ... L
) )
61 fvres 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
) )
62 dfsbcq 3108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph ) )
6360, 61, 623syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. ph ) )
6458, 63syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6564sbcbidv 3160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6652, 65bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6746, 66syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph ) )
6867sbcbidv 3160 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
6944, 68syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
7034, 69syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
7132, 70syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph ) )
7271rabbidv 2893 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... H
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... H ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph } )
7372eleq1d 2455 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  H )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... H ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) ) )
7473biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... H ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )
75 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
76 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
77 rexfrabdioph.5 . . . . 5  |-  I  =  ( J  +  1 )
78 rexfrabdioph.6 . . . . 5  |-  H  =  ( I  +  1 )
7975, 76, 77, 784rexfrabdioph 26551 . . . 4  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L ) )
8024, 74, 79syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L ) )
8116, 80syl5eqel 2473 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  L ) )
8218, 172rexfrabdioph 26549 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  L ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
8381, 82syldan 457 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... H ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. ph }  e.  (Dioph `  H ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   {crab 2655   _Vcvv 2901   [.wsbc 3106    C_ wss 3265    |` cres 4822   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ^m cmap 6956   1c1 8926    + caddc 8928   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ...cfz 10977  Diophcdioph 26506
This theorem is referenced by:  7rexfrabdioph  26553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-hash 11548  df-mzpcl 26473  df-mzp 26474  df-dioph 26507
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