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Theorem 7rexfrabdioph 26860
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
rexfrabdioph.5  |-  I  =  ( J  +  1 )
rexfrabdioph.6  |-  H  =  ( I  +  1 )
rexfrabdioph.7  |-  G  =  ( H  +  1 )
Assertion
Ref Expression
7rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, G, u, v, w, x, y, z, p, q    t, H, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, I, u, v, w, x, y, z, p, q    t, J, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, K, u, v, w, x, y, z, p, q    t, L, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, M, u, v, w, x, y, z, p, q    t, N, u, v, w, x, y, z, p, q    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, q, p)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 M )  e. 
_V
2 sbc2rexg 26844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  M )  e.  _V  ->  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph )
4 sbc4rexg 26845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a `  M )  e.  _V  ->  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph ) )
51, 4ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
652rexbii 2732 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
73, 6bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
87sbcbii 3216 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
9 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
109resex 5186 . . . . . . 7  |-  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
11 sbc2rexg 26844 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
13 sbc4rexg 26845 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
)
1410, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
15142rexbii 2732 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph )
168, 12, 153bitri 263 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph ) )
1817rabbiia 2946 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph }
19 rexfrabdioph.1 . . . . . . 7  |-  M  =  ( N  +  1 )
20 nn0p1nn 10259 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl5eqel 2520 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
2221nnnn0d 10274 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
2322adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  M  e.  NN0 )
24 sbcrot3 26847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph )
2524sbcbii 3216 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
26 sbcrot3 26847 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
27 sbcrot5 26848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. ph )
2827sbcbii 3216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
29 sbcrot5 26848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph  <->  [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
3028, 29bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
3130sbcbii 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
3231sbcbii 3216 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
3325, 26, 323bitri 263 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
3433sbcbii 3216 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
35 reseq1 5140 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
3635sbccomieg 26849 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
37 fzssp1 11095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3819oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3937, 38sseqtr4i 3381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
40 resabs1 5175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... M )  ->  (
( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
41 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
4239, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
43 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  t  e. 
_V
4443resex 5186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  e.  _V
451ax-gen 1555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. a
( a `  M
)  e.  _V
46 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
) )
4746sbcco3gOLD 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) )  e.  _V  /\  A. a ( a `  M )  e.  _V )  ->  ( [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph ) )
4844, 45, 47mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph )
49 elfz1end 11081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
5021, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
51 fvres 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( t  |`  (
1 ... M ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
52 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph ) )
5350, 51, 523syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph ) )
5448, 53syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph ) )
5554sbcbidv 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5642, 55syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5736, 56syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5834, 57syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5958rabbidv 2948 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph } )
6059eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) ) )
6160biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )
62 rexfrabdioph.2 . . . . 5  |-  L  =  ( M  +  1 )
63 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
64 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
65 rexfrabdioph.5 . . . . 5  |-  I  =  ( J  +  1 )
66 rexfrabdioph.6 . . . . 5  |-  H  =  ( I  +  1 )
67 rexfrabdioph.7 . . . . 5  |-  G  =  ( H  +  1 )
6862, 63, 64, 65, 66, 676rexfrabdioph 26859 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e. 
NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6923, 61, 68syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e. 
NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M )
)
7018, 69syl5eqel 2520 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  M )
)
7119rexfrabdioph 26855 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  M )
)  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
7270, 71syldan 457 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956   [.wsbc 3161    C_ wss 3320    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ...cfz 11043  Diophcdioph 26813
This theorem is referenced by:  rmydioph  27085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-mzpcl 26780  df-mzp 26781  df-dioph 26814
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