MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Unicode version

Theorem 83prm 13445
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10244 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 10134 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10395 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10240 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 10396 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10239 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10237 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10184 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10139 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 10179 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 10407 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10404 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 10186 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 10407 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 10070 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 9093 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 10059 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 13399 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 10238 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10243 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 10396 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 10133 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 10236 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2436 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 10398 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 10128 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 10120 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 10233 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 10072 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 10465 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 9097 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 ax-1cn 9048 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
36 2p1e3 10103 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3715, 35, 36addcomli 9258 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3819, 7, 19, 34, 37decaddi 10426 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3919, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 38decma2c 10422 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
40 2lt3 10143 . . 3  |-  2  <  3
412, 21, 22, 39, 40ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
42 3lt5 10149 . . 3  |-  3  <  5
431, 2, 42dec5dvds 13400 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
44 7nn 10138 . . 3  |-  7  e.  NN
457, 7deccl 10396 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
46 6nn 10137 . . 3  |-  6  e.  NN
4746nnnn0i 10229 . . . 4  |-  6  e.  NN0
48 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4947dec0h 10398 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
5031mulid1i 9092 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
5135addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5250, 51oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
53 7p1e8 10108 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5452, 53eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5550oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
56 7p6e13 10436 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5755, 56eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
587, 7, 23, 47, 48, 49, 20, 6, 7, 54, 57decma2c 10422 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
59 6lt7 10157 . . 3  |-  6  <  7
6044, 45, 46, 58, 59ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
61 1nn 10011 . . . 4  |-  1  e.  NN
627, 61decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6362nncni 10010 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6463, 31mulcomi 9096 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6564oveq1i 6091 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6665, 58eqtri 2456 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
67 6lt10 10181 . . . 4  |-  6  <  10
6861, 7, 47, 67declti 10407 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6962, 20, 46, 66, 68ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
707, 2decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
71 5nn 10136 . . 3  |-  5  e.  NN
7271nnnn0i 10229 . . . 4  |-  5  e.  NN0
73 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7472dec0h 10398 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
7546nncni 10010 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7675mulid2i 9093 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7776, 27oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7877, 29eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
79 6t3e18 10460 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
8075, 32, 79mulcomli 9097 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
81 1p1e2 10094 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
82 8p5e13 10440 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
837, 1, 72, 80, 81, 6, 82decaddci 10427 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
847, 6, 23, 72, 73, 74, 47, 6, 19, 78, 83decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
85 5lt10 10182 . . . 4  |-  5  <  10
8661, 6, 72, 85declti 10407 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8770, 47, 71, 84, 86ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
887, 44decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
897, 71decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
90 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
91 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
924nn0cni 10233 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9392mulid2i 9093 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
94 3p1e4 10104 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9532, 35, 94addcomli 9258 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9693, 95oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
97 4p4e8 10115 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9896, 97eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
99 7t4e28 10466 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
10019, 1, 72, 99, 36, 6, 82decaddci 10427 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 100decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 10158 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 72, 44, 102declt 10403 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10488, 4, 89, 101, 103ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 10140 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10245 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 10398 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11092addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11193, 110oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 97eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 10479 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 75, 56addcomli 9258 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 47, 20, 113, 94, 6, 114decaddci 10427 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 10180 . . . 4  |-  7  <  10
11861, 107, 20, 117declti 10407 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 44, 116, 118ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 10395 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 10135 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2436 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 9097 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 81oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 10129 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 10446 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 10183 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 10142 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 10404 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 41, 43, 60, 69, 87, 104, 119, 136prmlem2 13442 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   5c5 10052   6c6 10053   7c7 10054   8c8 10055   9c9 10056  ;cdc 10382   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  bpos1  21067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator