MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Unicode version

Theorem 83prm 13124
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 9988 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 9878 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10137 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 9984 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 10138 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 9928 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 9883 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 9923 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 10149 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10146 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 9930 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 10149 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 9816 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 8840 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 9805 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 13078 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 9982 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 9987 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 10138 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 9877 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 9980 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2283 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 10140 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 9872 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 9864 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 9977 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 9818 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 10207 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 8844 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
36 2p1e3 9847 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3715, 35, 36addcomli 9004 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3819, 7, 19, 34, 37decaddi 10168 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3919, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 38decma2c 10164 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
40 2lt3 9887 . . 3  |-  2  <  3
412, 21, 22, 39, 40ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
42 3lt5 9893 . . 3  |-  3  <  5
431, 2, 42dec5dvds 13079 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
44 7nn 9882 . . 3  |-  7  e.  NN
457, 7deccl 10138 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
46 6nn 9881 . . 3  |-  6  e.  NN
4746nnnn0i 9973 . . . 4  |-  6  e.  NN0
48 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4947dec0h 10140 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
5031mulid1i 8839 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
5135addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5250, 51oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
53 7p1e8 9852 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5452, 53eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5550oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
56 7p6e13 10178 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5755, 56eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
587, 7, 23, 47, 48, 49, 20, 6, 7, 54, 57decma2c 10164 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
59 6lt7 9901 . . 3  |-  6  <  7
6044, 45, 46, 58, 59ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
61 1nn 9757 . . . 4  |-  1  e.  NN
627, 61decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6362nncni 9756 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6463, 31mulcomi 8843 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6564oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6665, 58eqtri 2303 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
67 6lt10 9925 . . . 4  |-  6  <  10
6861, 7, 47, 67declti 10149 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6962, 20, 46, 66, 68ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
707, 2decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
71 5nn 9880 . . 3  |-  5  e.  NN
7271nnnn0i 9973 . . . 4  |-  5  e.  NN0
73 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7472dec0h 10140 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
7546nncni 9756 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7675mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7776, 27oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7877, 29eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
79 6t3e18 10202 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
8075, 32, 79mulcomli 8844 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
81 1p1e2 9840 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
82 8p5e13 10182 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
837, 1, 72, 80, 81, 6, 82decaddci 10169 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
847, 6, 23, 72, 73, 74, 47, 6, 19, 78, 83decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
85 5lt10 9926 . . . 4  |-  5  <  10
8661, 6, 72, 85declti 10149 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8770, 47, 71, 84, 86ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
887, 44decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
897, 71decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
90 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
91 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
924nn0cni 9977 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9392mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
94 3p1e4 9848 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9532, 35, 94addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9693, 95oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
97 4p4e8 9859 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9896, 97eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
99 7t4e28 10208 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
10019, 1, 72, 99, 36, 6, 82decaddci 10169 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 100decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 9902 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 72, 44, 102declt 10145 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10488, 4, 89, 101, 103ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 9884 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 9989 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 10140 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11092addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11193, 110oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 97eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 10221 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 75, 56addcomli 9004 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 47, 20, 113, 94, 6, 114decaddci 10169 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 9924 . . . 4  |-  7  <  10
11861, 107, 20, 117declti 10149 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 44, 116, 118ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 10137 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 9879 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2283 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 81oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 9873 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 10188 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 9927 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 9886 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 10146 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 41, 43, 60, 69, 87, 104, 119, 136prmlem2 13121 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802  ;cdc 10124   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  bpos1  20522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator