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Theorem a12peros 29743
Description: Experiment to study ax12o 1887. (Contributed by NM, 9-Dec-1015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
a12study10.p  |-  ( ph  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
a12study10.q  |-  ( ps  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  A. z  -.  x  =  y
) ) )
a12study10.r  |-  ( ch  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
a12study10.s  |-  ( th  <->  ( E. z  -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
a12study10.t  |-  ( ta  <->  ( E. z  -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
a12peros  |-  ( ph  <->  ( ch  \/  th )
)
Distinct variable groups:    x, y    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    ch( x, y, z)    th( x, y, z)    ta( x, y, z)

Proof of Theorem a12peros
StepHypRef Expression
1 a12study10.p . . 3  |-  ( ph  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 a12study8 29741 . . . 4  |-  ( ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  \/  ( -.  z  =  y  -> 
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) ) )
3 a12study10.s . . . . . 6  |-  ( th  <->  ( E. z  -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
4 exnal 1564 . . . . . . 7  |-  ( E. z  -.  z  =  y  <->  -.  A. z 
z  =  y )
54imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( E. z  -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
63, 5bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  <->  th )
7 a12study10.r . . . . . 6  |-  ( ch  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
8 df-ex 1532 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  x  =  y  <->  -.  A. z  -.  x  =  y )
98imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
109imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( -.  z  =  y  ->  ( E. z  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
117, 10bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  <->  ch )
126, 11orbi12i 507 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  \/  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )  <->  ( th  \/  ch ) )
132, 12bitri 240 . . 3  |-  ( ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( th  \/  ch ) )
141, 13bitri 240 . 2  |-  ( ph  <->  ( th  \/  ch )
)
15 orcom 376 . 2  |-  ( ( th  \/  ch )  <->  ( ch  \/  th )
)
1614, 15bitri 240 1  |-  ( ph  <->  ( ch  \/  th )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-11 1727
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-ex 1532
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