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Theorem a12study8 29119
Description: Experiment to study ax12o 1875. Closed form of ax12conj2 29108. (Contributed by NM, 6-Dec-1015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
a12study8  |-  ( ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  \/  ( -.  z  =  y  -> 
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    x, z

Proof of Theorem a12study8
StepHypRef Expression
1 pm4.79 566 . 2  |-  ( ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y
)  ->  A. z  x  =  y )  \/  ( ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y )  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y
) )  ->  A. z  x  =  y )
)
2 impexp 433 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
3 impexp 433 . . 3  |-  ( ( ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
42, 3orbi12i 507 . 2  |-  ( ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y
)  ->  A. z  x  =  y )  \/  ( ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  \/  ( -.  z  =  y  -> 
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) ) )
5 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  z  =  y )
65con3i 127 . . . . 5  |-  ( -.  z  =  y  ->  -.  A. z  z  =  y )
7 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  -.  x  =  y )
87con2i 112 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -.  A. z  -.  x  =  y )
96, 8anandii 29107 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  y  /\  x  =  y )  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y ) )  <->  ( -.  z  =  y  /\  x  =  y )
)
109imbi1i 315 . . 3  |-  ( ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y
)  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y ) )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( ( -.  z  =  y  /\  x  =  y
)  ->  A. z  x  =  y )
)
11 impexp 433 . . 3  |-  ( ( ( -.  z  =  y  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
1210, 11bitri 240 . 2  |-  ( ( ( ( -.  A. z  z  =  y  /\  x  =  y
)  /\  ( -.  z  =  y  /\  -.  A. z  -.  x  =  y ) )  ->  A. z  x  =  y )  <->  ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )
131, 4, 123bitr3ri 267 1  |-  ( ( -.  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  <->  ( ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  \/  ( -.  z  =  y  -> 
( -.  A. z  -.  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  a12peros  29121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-11 1715
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360
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