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Theorem a12studyALT 29133
Description: Alternate proof of a12study 29132, also without using ax12o 1875. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
a12study.1  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( A. z ( z  =  x  ->  z  =  y )  ->  x  =  y ) )
a12study.2  |-  ( A. z ( z  =  x  ->  -.  z  =  y )  ->  -.  x  =  y
)
Assertion
Ref Expression
a12studyALT  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )

Proof of Theorem a12studyALT
StepHypRef Expression
1 hbn1 1704 . . . . 5  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  A. z  -.  A. z  z  =  x )
2 hbn1 1704 . . . . 5  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  A. z  -.  A. z  z  =  y )
31, 2hban 1736 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  A. z
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y ) )
4 a12study.1 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( A. z ( z  =  x  ->  z  =  y )  ->  x  =  y ) )
54con3d 125 . . . . 5  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  -. 
A. z ( z  =  x  ->  z  =  y ) ) )
6 exnal 1561 . . . . . 6  |-  ( E. z  -.  ( z  =  x  ->  z  =  y )  <->  -.  A. z
( z  =  x  ->  z  =  y ) )
7 hba1 1719 . . . . . . 7  |-  ( A. z  -.  x  =  y  ->  A. z A. z  -.  x  =  y
)
8 annim 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  -.  z  =  y
)  <->  -.  ( z  =  x  ->  z  =  y ) )
9 ax11o 1934 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( z  =  x  ->  ( -.  z  =  y  ->  A. z ( z  =  x  ->  -.  z  =  y ) ) ) )
10 a12study.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( z  =  x  ->  -.  z  =  y )  ->  -.  x  =  y
)
1110a5i 1758 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  x  ->  -.  z  =  y )  ->  A. z  -.  x  =  y )
129, 11syl8 65 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( z  =  x  ->  ( -.  z  =  y  ->  A. z  -.  x  =  y ) ) )
1312imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( (
z  =  x  /\  -.  z  =  y
)  ->  A. z  -.  x  =  y
) )
148, 13syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  ( z  =  x  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  x  =  y
) )
151, 7, 14exlimdh 1804 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( E. z  -.  ( z  =  x  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  x  =  y
) )
166, 15syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z ( z  =  x  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  x  =  y
) )
175, 16sylan9r 639 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( -.  x  =  y  ->  A. z  -.  x  =  y ) )
183, 17hbnd 1824 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( -.  -.  x  =  y  ->  A. z  -.  -.  x  =  y )
)
19 notnot 282 . . 3  |-  ( x  =  y  <->  -.  -.  x  =  y )
2019albii 1553 . . 3  |-  ( A. z  x  =  y  <->  A. z  -.  -.  x  =  y )
2118, 19, 203imtr4g 261 . 2  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2221ex 423 1  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-nf 1532
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