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Theorem a9e2ndeqALT 29043
Description: "At least two sets exist" expressed in the form of dtru 4390 is logically equivalent to the same expressed in a form similar to a9e 1952 if dtru 4390 is false implies  u  =  v. Proof derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in a9e2ndeqVD 29021. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
a9e2ndeqALT  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  <->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
Distinct variable groups:    x, u    y, u    x, v    y,
v

Proof of Theorem a9e2ndeqALT
StepHypRef Expression
1 a9e2nd 28645 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
2 a9e2eq 28644 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )
31a1d 23 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )
4 exmid 405 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  \/  -.  A. x  x  =  y )
5 jao 499 . . . . 5  |-  ( ( A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )  ->  ( ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )  ->  ( ( A. x  x  =  y  \/  -.  A. x  x  =  y )  -> 
( u  =  v  ->  E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v ) ) ) ) )
653imp 1147 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  x  =  y  ->  (
u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )
) )  /\  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )  /\  ( A. x  x  =  y  \/  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( u  =  v  ->  E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )
72, 3, 4, 6mp3an 1279 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
81, 7jaoi 369 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )
)
9 hbnae 2043 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. y  -.  A. x  x  =  y )
109eximi 1585 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  -.  A. x  x  =  y  ->  E. y A. y  -. 
A. x  x  =  y )
11 nfa1 1806 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  -.  A. x  x  =  y
121119.9 1797 . . . . . . . 8  |-  ( E. y A. y  -. 
A. x  x  =  y  <->  A. y  -.  A. x  x  =  y
)
1310, 12sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( E. y  -.  A. x  x  =  y  ->  A. y  -.  A. x  x  =  y )
14 sp 1763 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( E. y  -.  A. x  x  =  y  ->  -. 
A. x  x  =  y )
16 excom 1756 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  <->  E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )
)
17 nfa1 1806 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. x  x  =  y
1817nfn 1811 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
191819.9 1797 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  -.  A. x  x  =  y  <->  -.  A. x  x  =  y )
20 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =/=  v  ->  u  =/=  v )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  (
x  =  u  /\  y  =  v )
)
22 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  x  =  u )
24 pm13.181 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  u  =/=  v )  ->  x  =/=  v )
2524ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =/=  v  /\  x  =  u )  ->  x  =/=  v )
2620, 23, 25eel121 28820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  x  =/=  v )
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
2821, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  y  =  v )
29 neeq2 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  v  ->  (
x  =/=  y  <->  x  =/=  v ) )
3029biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =/=  v  /\  y  =  v )  ->  x  =/=  y )
3126, 28, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  x  =/=  y )
32 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
3332bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  <->  x  =/=  y )
34 sp 1763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
3534con3i 129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
3633, 35sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
3731, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  -.  A. x  x  =  y )
3837ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =/=  v  ->  (
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )
)
3938alrimiv 1641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =/=  v  ->  A. x
( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
40 exim 1584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y ) )
42 imbi2 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  -.  A. x  x  =  y  <->  -. 
A. x  x  =  y )  ->  (
( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y
)  <->  ( E. x
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )
) )
4342biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E. x  -.  A. x  x  =  y  <->  -.  A. x  x  =  y )  /\  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
4419, 41, 43sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
4544alrimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( u  =/=  v  ->  A. y
( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
46 exim 1584 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( E. x
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y
) )
48 imbi1 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  <->  E. y E. x
( x  =  u  /\  y  =  v ) )  ->  (
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y )  <->  ( E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y )
) )
4948biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  <->  E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v ) )  /\  ( E. y E. x
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )
5016, 47, 49sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y
) )
51 pm3.34 570 . . . . . 6  |-  ( ( ( E. y  -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )  /\  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
5215, 50, 51sylancr 645 . . . . 5  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
53 orc 375 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) )
5453imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) ) )
5552, 54syl 16 . . . 4  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
5655idi 2 . . 3  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
57 id 20 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  u  =  v )
58 ax-1 5 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  u  =  v ) )
5957, 58syl 16 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  u  =  v ) )
60 olc 374 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) )
6160imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  u  =  v )  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
6259, 61syl 16 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
6362idi 2 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
64 exmidne 2607 . . 3  |-  ( u  =  v  \/  u  =/=  v )
65 jao 499 . . . 4  |-  ( ( u  =  v  -> 
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) ) )  ->  ( ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )  ->  (
( u  =  v  \/  u  =/=  v
)  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) ) ) )
66653imp21 28655 . . 3  |-  ( ( ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) ) )  /\  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )  /\  (
u  =  v  \/  u  =/=  v ) )  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
6756, 63, 64, 66mp3an 1279 . 2  |-  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
)
688, 67impbii 181 1  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  <->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    =/= wne 2599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-ne 2601  df-v 2958
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