MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aacjcl Structured version   Unicode version

Theorem aacjcl 20249
Description: The conjugate of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
aacjcl  |-  ( A  e.  AA  ->  (
* `  A )  e.  AA )

Proof of Theorem aacjcl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 11915 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) ( f `  A
)  =  0 )  ->  ( * `  A )  e.  CC )
3 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  A )  =  0  ->  (
* `  ( f `  A ) )  =  ( * `  0
) )
4 cj0 11968 . . . . . . 7  |-  ( * `
 0 )  =  0
53, 4syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( f `  A )  =  0  ->  (
* `  ( f `  A ) )  =  0 )
6 difss 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) 
C_  (Poly `  ZZ )
7 zssre 10294 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  RR
8 ax-resscn 9052 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
9 plyss 20123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR ) )
107, 8, 9mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR )
116, 10sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) 
C_  (Poly `  RR )
1211sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } )  -> 
f  e.  (Poly `  RR ) )
13 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
14 plyrecj 20202 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  (Poly `  RR )  /\  A  e.  CC )  ->  (
* `  ( f `  A ) )  =  ( f `  (
* `  A )
) )
1512, 13, 14syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) )  ->  ( * `  ( f `  A
) )  =  ( f `  ( * `
 A ) ) )
1615eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) )  ->  ( (
* `  ( f `  A ) )  =  0  <->  ( f `  ( * `  A
) )  =  0 ) )
175, 16syl5ib 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) )  ->  ( (
f `  A )  =  0  ->  (
f `  ( * `  A ) )  =  0 ) )
1817reximdva 2820 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( E. f  e.  (
(Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  A )  =  0  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  ( * `  A
) )  =  0 ) )
1918imp 420 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) ( f `  A
)  =  0 )  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  ( * `  A
) )  =  0 )
202, 19jca 520 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) ( f `  A
)  =  0 )  ->  ( ( * `
 A )  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 ( * `  A ) )  =  0 ) )
21 elaa 20238 . 2  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
22 elaa 20238 . 2  |-  ( ( * `  A )  e.  AA  <->  ( (
* `  A )  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 ( * `  A ) )  =  0 ) )
2320, 21, 223imtr4i 259 1  |-  ( A  e.  AA  ->  (
* `  A )  e.  AA )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5457   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   ZZcz 10287   *ccj 11906   0 pc0p 19564  Polycply 20108   AAcaa 20236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115  df-aa 20237
  Copyright terms: Public domain W3C validator