MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aacjcl Unicode version

Theorem aacjcl 20205
Description: The conjugate of an algebraic number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
aacjcl  |-  ( A  e.  AA  ->  (
* `  A )  e.  AA )

Proof of Theorem aacjcl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 11873 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) ( f `  A
)  =  0 )  ->  ( * `  A )  e.  CC )
3 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  A )  =  0  ->  (
* `  ( f `  A ) )  =  ( * `  0
) )
4 cj0 11926 . . . . . . 7  |-  ( * `
 0 )  =  0
53, 4syl6eq 2460 . . . . . 6  |-  ( ( f `  A )  =  0  ->  (
* `  ( f `  A ) )  =  0 )
6 difss 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) 
C_  (Poly `  ZZ )
7 zssre 10253 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  RR
8 ax-resscn 9011 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
9 plyss 20079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR ) )
107, 8, 9mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  (Poly `  ZZ )  C_  (Poly `  RR )
116, 10sstri 3325 . . . . . . . . 9  |-  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) 
C_  (Poly `  RR )
1211sseli 3312 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } )  -> 
f  e.  (Poly `  RR ) )
13 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
14 plyrecj 20158 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  (Poly `  RR )  /\  A  e.  CC )  ->  (
* `  ( f `  A ) )  =  ( f `  (
* `  A )
) )
1512, 13, 14syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) )  ->  ( * `  ( f `  A
) )  =  ( f `  ( * `
 A ) ) )
1615eqeq1d 2420 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) )  ->  ( (
* `  ( f `  A ) )  =  0  <->  ( f `  ( * `  A
) )  =  0 ) )
175, 16syl5ib 211 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) )  ->  ( (
f `  A )  =  0  ->  (
f `  ( * `  A ) )  =  0 ) )
1817reximdva 2786 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( E. f  e.  (
(Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  A )  =  0  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  ( * `  A
) )  =  0 ) )
1918imp 419 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) ( f `  A
)  =  0 )  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  ( * `  A
) )  =  0 )
202, 19jca 519 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0 p } ) ( f `  A
)  =  0 )  ->  ( ( * `
 A )  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 ( * `  A ) )  =  0 ) )
21 elaa 20194 . 2  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
22 elaa 20194 . 2  |-  ( ( * `  A )  e.  AA  <->  ( (
* `  A )  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 ( * `  A ) )  =  0 ) )
2320, 21, 223imtr4i 258 1  |-  ( A  e.  AA  ->  (
* `  A )  e.  AA )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {csn 3782   ` cfv 5421   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   ZZcz 10246   *ccj 11864   0 pc0p 19522  Polycply 20064   AAcaa 20192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-0p 19523  df-ply 20068  df-coe 20070  df-dgr 20071  df-aa 20193
  Copyright terms: Public domain W3C validator