Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou Unicode version

Theorem aaliou 20194
 Description: Liouville's theorem on diophantine approximation: Any algebraic number, being a root of a polynomial in integer coefficients, is not approximable beyond order deg by rational numbers. In this form, it also applies to rational numbers themselves, which are not well approximable by other rational numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a deg
aalioulem2.b Poly
aalioulem2.c
aalioulem2.d
aalioulem3.e
Assertion
Ref Expression
aaliou
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem aaliou
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 deg
2 aalioulem2.b . . 3 Poly
3 aalioulem2.c . . 3
4 aalioulem2.d . . 3
5 aalioulem3.e . . 3
61, 2, 3, 4, 5aalioulem6 20193 . 2
7 rphalfcl 10582 . . . . 5
87adantl 453 . . . 4
97ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12
10 nnrp 10567 . . . . . . . . . . . . . 14
1110ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13
123nnzd 10320 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13rpexpcld 11487 . . . . . . . . . . . 12
159, 14rpdivcld 10611 . . . . . . . . . . 11
1615rpred 10594 . . . . . . . . . 10
17 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12
1817, 14rpdivcld 10611 . . . . . . . . . . 11
1918rpred 10594 . . . . . . . . . 10
204adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
21 znq 10524 . . . . . . . . . . . . . 14
22 qre 10525 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
24 resubcl 9311 . . . . . . . . . . . . 13
2520, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
2625recnd 9061 . . . . . . . . . . 11
2726abscld 12179 . . . . . . . . . 10
2816, 19, 273jca 1134 . . . . . . . . 9
299rpred 10594 . . . . . . . . . . . 12
30 rpre 10564 . . . . . . . . . . . . 13
3130ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12
32 rphalflt 10584 . . . . . . . . . . . . 13
3332ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12
3429, 31, 14, 33ltdiv1dd 10647 . . . . . . . . . . 11
3534anim1i 552 . . . . . . . . . 10
3635ex 424 . . . . . . . . 9
37 ltletr 9113 . . . . . . . . 9
3828, 36, 37sylsyld 54 . . . . . . . 8
3938orim2d 814 . . . . . . 7
4039anassrs 630 . . . . . 6
4140ralimdva 2741 . . . . 5
4241ralimdva 2741 . . . 4
43 oveq1 6041 . . . . . . . 8
4443breq1d 4177 . . . . . . 7
4544orbi2d 683 . . . . . 6
46452ralbidv 2705 . . . . 5
4746rspcev 3009 . . . 4
488, 42, 47ee12an 1369 . . 3
4948rexlimdva 2787 . 2
506, 49mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2663  wrex 2664   class class class wbr 4167  cfv 5408  (class class class)co 6034  cr 8936  cc0 8937   clt 9067   cle 9068   cmin 9237   cdiv 9623  cn 9946  c2 9995  cz 10228  cq 10520  crp 10558  cexp 11323  cabs 11980  Polycply 20042  degcdgr 20045 This theorem is referenced by:  aaliou2  20196 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-rep 4275  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-inf2 7543  ax-cnex 8993  ax-resscn 8994  ax-1cn 8995  ax-icn 8996  ax-addcl 8997  ax-addrcl 8998  ax-mulcl 8999  ax-mulrcl 9000  ax-mulcom 9001  ax-addass 9002  ax-mulass 9003  ax-distr 9004  ax-i2m1 9005  ax-1ne0 9006  ax-1rid 9007  ax-rnegex 9008  ax-rrecex 9009  ax-cnre 9010  ax-pre-lttri 9011  ax-pre-lttrn 9012  ax-pre-ltadd 9013  ax-pre-mulgt0 9014  ax-pre-sup 9015  ax-addf 9016  ax-mulf 9017 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-nel 2567  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-int 4007  df-iun 4051  df-iin 4052  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-se 4497  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-of 6258  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-1o 6674  df-2o 6675  df-oadd 6678  df-er 6855  df-map 6970  df-pm 6971  df-ixp 7014  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-fin 7063  df-fi 7365  df-sup 7395  df-oi 7426  df-card 7773  df-cda 7995  df-pnf 9069  df-mnf 9070  df-xr 9071  df-ltxr 9072  df-le 9073  df-sub 9239  df-neg 9240  df-div 9624  df-nn 9947  df-2 10004  df-3 10005  df-4 10006  df-5 10007  df-6 10008  df-7 10009  df-8 10010  df-9 10011  df-10 10012  df-n0 10168  df-z 10229  df-dec 10329  df-uz 10435  df-q 10521  df-rp 10559  df-xneg 10656  df-xadd 10657  df-xmul 10658  df-ioo 10866  df-ico 10868  df-icc 10869  df-fz 10990  df-fzo 11080  df-fl 11143  df-seq 11265  df-exp 11324  df-hash 11560  df-cj 11845  df-re 11846  df-im 11847  df-sqr 11981  df-abs 11982  df-clim 12223  df-rlim 12224  df-sum 12421  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13415  df-sets 13416  df-ress 13417  df-plusg 13483  df-mulr 13484  df-starv 13485  df-sca 13486  df-vsca 13487  df-tset 13489  df-ple 13490  df-ds 13492  df-unif 13493  df-hom 13494  df-cco 13495  df-rest 13591  df-topn 13592  df-topgen 13608  df-pt 13609  df-prds 13612  df-xrs 13667  df-0g 13668  df-gsum 13669  df-qtop 13674  df-imas 13675  df-xps 13677  df-mre 13752  df-mrc 13753  df-acs 13755  df-mnd 14631  df-submnd 14680  df-grp 14753  df-minusg 14754  df-mulg 14756  df-subg 14882  df-cntz 15057  df-cmn 15355  df-mgp 15590  df-rng 15604  df-cring 15605  df-ur 15606  df-subrg 15807  df-psmet 16635  df-xmet 16636  df-met 16637  df-bl 16638  df-mopn 16639  df-fbas 16640  df-fg 16641  df-cnfld 16645  df-top 16904  df-bases 16906  df-topon 16907  df-topsp 16908  df-cld 17024  df-ntr 17025  df-cls 17026  df-nei 17103  df-lp 17141  df-perf 17142  df-cn 17231  df-cnp 17232  df-haus 17319  df-cmp 17390  df-tx 17533  df-hmeo 17726  df-fil 17817  df-fm 17909  df-flim 17910  df-flf 17911  df-xms 18289  df-ms 18290  df-tms 18291  df-cncf 18847  df-0p 19501  df-limc 19692  df-dv 19693  df-dvn 19694  df-cpn 19695  df-ply 20046  df-idp 20047  df-coe 20048  df-dgr 20049  df-quot 20147
 Copyright terms: Public domain W3C validator