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Theorem aaliou2b 20126
Description: Liouville's approximation theorem extended to complex  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2b  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable group:    A, k, x, p, q

Proof of Theorem aaliou2b
StepHypRef Expression
1 elin 3474 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  <->  ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR ) )
2 aaliou2 20125 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
31, 2sylbir 205 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4 1nn 9944 . . . 4  |-  1  e.  NN
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  1  e.  NN )
6 aacn 20102 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  AA  ->  A  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
87imcld 11928 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
98recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
10 reim0b 11852 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  AA  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
1211necon3bbid 2585 . . . . . 6  |-  ( A  e.  AA  ->  ( -.  A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =/=  0 ) )
1312biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
149, 13absrpcld 12178 . . . 4  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
1514rphalfcld 10593 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR+ )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+ )
17 1nn0 10170 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
18 nnexpcl 11322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
1917, 18mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q ^ 1 )  e.  NN )
2019ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
2120nnrpd 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  RR+ )
2216, 21rpdivcld 10598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR+ )
2322rpred 10581 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR )
2416rpred 10581 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR )
257adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
26 znq 10511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  QQ )
28 qre 10512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  RR )
3029recnd 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  CC )
3125, 30subcld 9344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  -  (
p  /  q ) )  e.  CC )
3231abscld 12166 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  e.  RR )
3320nnge1d 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( q ^ 1 ) )
34 1rp 10549 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
35 rpregt0 10558 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3721rpregt0d 10587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( q ^
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( q ^ 1 ) ) )
3816rpregt0d 10587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) ) )
39 lediv2 9833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( q ^ 1 )  e.  RR  /\  0  < 
( q ^ 1 ) )  /\  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 ) ) )  ->  (
1  <_  ( q ^ 1 )  <->  ( (
( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  <_  (
q ^ 1 )  <-> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) ) )
4133, 40mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) )
4216rpcnd 10583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  CC )
4342div1d 9715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 )  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4441, 43breqtrd 4178 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
4645rpred 10581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
47 rphalflt 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  A )
) )
4845, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  A )
) )
4925, 30imsubd 11950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  ( p  /  q
) ) ) )
5029reim0d 11958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  (
p  /  q ) )  =  0 )
5150oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  0 ) )
529adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5352subid1d 9333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  0 )  =  ( Im
`  A ) )
5449, 51, 533eqtrd 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( Im
`  A ) )
5554fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  A
) ) )
56 absimle 12042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( p  /  q ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5731, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5855, 57eqbrtrrd 4176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5924, 46, 32, 48, 58ltletrd 9163 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6023, 24, 32, 44, 59lelttrd 9161 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6160olcd 383 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6261ralrimivva 2742 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
63 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
q ^ k )  =  ( q ^
1 ) )
6463oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
x  /  ( q ^ k ) )  =  ( x  / 
( q ^ 1 ) ) )
6564breq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6665orbi2d 683 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ k
) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
67662ralbidv 2692 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
68 oveq1 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) ) )
6968breq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( (
x  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <->  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
7069orbi2d 683 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
71702ralbidv 2692 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7267, 71rspc2ev 3004 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
735, 15, 62, 72syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
743, 73pm2.61dan 767 1  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    i^i cin 3263   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   QQcq 10507   RR+crp 10545   ^cexp 11310   Imcim 11831   abscabs 11967   AAcaa 20099
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  20135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-subrg 15794  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-0p 19430  df-limc 19621  df-dv 19622  df-dvn 19623  df-cpn 19624  df-ply 19975  df-idp 19976  df-coe 19977  df-dgr 19978  df-quot 20076  df-aa 20100
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