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Theorem aaliou2b 19721
Description: Liouville's approximation theorem extended to complex  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2b  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable group:    A, k, x, p, q

Proof of Theorem aaliou2b
StepHypRef Expression
1 elin 3358 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  <->  ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR ) )
2 aaliou2 19720 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
31, 2sylbir 204 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4 1nn 9757 . . . 4  |-  1  e.  NN
54a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  1  e.  NN )
6 aacn 19697 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  AA  ->  A  e.  CC )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
87imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
98recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
10 reim0b 11604 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
116, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  AA  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
1211necon3bbid 2480 . . . . . 6  |-  ( A  e.  AA  ->  ( -.  A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =/=  0 ) )
1312biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
149, 13absrpcld 11930 . . . 4  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
1514rphalfcld 10402 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR+ )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+ )
17 1nn0 9981 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
18 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
1917, 18mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q ^ 1 )  e.  NN )
2019ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
2120nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  RR+ )
2216, 21rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR+ )
2322rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR )
2416rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR )
257adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
26 znq 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
2726adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  QQ )
28 qre 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  RR )
3029recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  CC )
3125, 30subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  -  (
p  /  q ) )  e.  CC )
3231abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  e.  RR )
3320nnge1d 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( q ^ 1 ) )
34 1rp 10358 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
35 rpregt0 10367 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3634, 35mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3721rpregt0d 10396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( q ^
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( q ^ 1 ) ) )
3816rpregt0d 10396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) ) )
39 lediv2 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( q ^ 1 )  e.  RR  /\  0  < 
( q ^ 1 ) )  /\  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 ) ) )  ->  (
1  <_  ( q ^ 1 )  <->  ( (
( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  <_  (
q ^ 1 )  <-> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) ) )
4133, 40mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) )
4216rpcnd 10392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  CC )
4342div1d 9528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 )  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4441, 43breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4514adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
4645rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
47 rphalflt 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  A )
) )
4845, 47syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  A )
) )
4925, 30imsubd 11702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  ( p  /  q
) ) ) )
5029reim0d 11710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  (
p  /  q ) )  =  0 )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  0 ) )
529adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5352subid1d 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  0 )  =  ( Im
`  A ) )
5449, 51, 533eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( Im
`  A ) )
5554fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  A
) ) )
56 absimle 11794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( p  /  q ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5731, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5855, 57eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5924, 46, 32, 48, 58ltletrd 8976 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6023, 24, 32, 44, 59lelttrd 8974 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6160olcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6261ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
63 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
q ^ k )  =  ( q ^
1 ) )
6463oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
x  /  ( q ^ k ) )  =  ( x  / 
( q ^ 1 ) ) )
6564breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6665orbi2d 682 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ k
) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
67662ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
68 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) ) )
6968breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( (
x  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <->  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
7069orbi2d 682 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
71702ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7267, 71rspc2ev 2892 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
735, 15, 62, 72syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
743, 73pm2.61dan 766 1  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   QQcq 10316   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Imcim 11583   abscabs 11719   AAcaa 19694
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-dvn 19218  df-cpn 19219  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-aa 19695
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