MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem2 Unicode version

Theorem aaliou3lem2 19739
Description: Lemma for aaliou3 19747. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a  |-  G  =  ( c  e.  (
ZZ>= `  A )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) ) )
aaliou3lem.b  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) ) )
Distinct variable groups:    F, c    A, a, c    B, a, c    G, a
Allowed substitution hints:    F( a)    G( c)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables  b 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uznnssnn 10282 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  A )  C_  NN )
21sselda 3193 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
3 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  B  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  B ) )
43negeqd 9062 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  B ) )
54oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) ) )
6 aaliou3lem.b . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
7 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  B ) ) )
92, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) ) )
10 2rp 10375 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
112nnnn0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN0 )
12 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ! `
 B )  e.  NN )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  B
)  e.  NN )
1413nnzd 10132 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  B
)  e.  ZZ )
1514znegcld 10135 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  B
)  e.  ZZ )
16 rpexpcl 11138 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  B )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  B )
)  e.  RR+ )
1710, 15, 16sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  B )
)  e.  RR+ )
189, 17eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR+ )
1918rpred 10406 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR )
2018rpgt0d 10409 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <  ( F `  B ) )
21 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  b )  =  ( F `  A ) )
22 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  ( G `  b )  =  ( G `  A ) )
2321, 22breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  A )  <_  ( G `  A )
) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A )
) ) )
25 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
26 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ( G `  b )  =  ( G `  d ) )
2725, 26breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  d )  <_  ( G `  d )
) )
2827imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  d  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  d )  <_  ( G `  d )
) ) )
29 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( d  +  1 ) ) )
30 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  ( G `  b )  =  ( G `  ( d  +  1 ) ) )
3129, 30breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) )
3231imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
33 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( F `  b )  =  ( F `  B ) )
34 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( G `  b )  =  ( G `  B ) )
3533, 34breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) )
3635imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) ) )
37 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
38 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
4039nnzd 10132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
4140znegcld 10135 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  A )  e.  ZZ )
42 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
4310, 41, 42sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
4443rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR )
4544leidd 9355 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  <_  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) ) )
46 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
4746subidd 9161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  -  A )  =  0 )
4847oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( A  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
49 2re 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
50 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5149, 50rereccli 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
5251recni 8865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
53 exp0 11124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
5548, 54syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( A  -  A ) )  =  1 )
5655oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  1 ) )
5743rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  CC )
5857mulid1d 8868 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  1 )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
5956, 58eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
6045, 59breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) ) )
61 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
6261negeqd 9062 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  A ) )
6362oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) ) )
64 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  e.  _V
6563, 6, 64fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
66 nnz 10061 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
67 uzid 10258 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
68 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  A )  =  ( A  -  A ) )
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  A  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) )
7069oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  A  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) ) )
71 aaliou3lem.a . . . . . . . 8  |-  G  =  ( c  e.  (
ZZ>= `  A )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) ) )
72 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  e.  _V
7370, 71, 72fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  A )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) ) )
7466, 67, 733syl 18 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) ) )
7560, 65, 743brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A
) )
7675a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A ) ) )
771sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  NN )
7877nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  NN0 )
79 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ! `
 d )  e.  NN )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  NN )
8180nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  ZZ )
8281znegcld 10135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  d
)  e.  ZZ )
83 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  d )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR+ )
8410, 82, 83sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR+ )
8584rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR )
8684rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
87 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  NN )
8887nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  NN0 )
8988, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  A
)  e.  NN )
9089nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  A
)  e.  ZZ )
9190znegcld 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  A
)  e.  ZZ )
9210, 91, 42sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
93 halfgt0 9948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9451, 93elrpii 10373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
95 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  d  e.  ZZ )
96 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( d  -  A
)  e.  ZZ )
9795, 66, 96syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  -  A
)  e.  ZZ )
98 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
d  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  RR+ )
9994, 97, 98sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  RR+ )
10092, 99rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  e.  RR+ )
101100rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  e.  RR )
10285, 86, 101jca31 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR ) )
103102adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^
-u ( ! `  d ) ) )  /\  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )  e.  RR ) )
10495adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  ZZ )
10582, 104zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  e.  ZZ )
106 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( -u ( ! `  d
)  x.  d )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR+ )
10710, 105, 106sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR+ )
108107rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR )
109107rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <_  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
11051a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
111108, 109, 110jca31 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR ) )
112111adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  /\  ( 1  / 
2 )  e.  RR ) )
113 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  <_  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) ) )
11480nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  CC )
115104zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  CC )
116114, 115mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  =  -u (
( ! `  d
)  x.  d ) )
11780, 77nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  NN )
118117nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
1  <_  ( ( ! `  d )  x.  d ) )
119 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
120117nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  RR )
121 leneg 9293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( ( ! `  d )  x.  d
)  <->  -u ( ( ! `
 d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
122119, 120, 121sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  <_  (
( ! `  d
)  x.  d )  <->  -u ( ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 ) )
123118, 122mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 )
124116, 123eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 )
125 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
126125nn0negzi 10074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  ZZ
127 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u ( ! `
 d )  x.  d )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <->  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
128105, 126, 127sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u 1  e.  (
ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <->  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
129124, 128mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d
) ) )
130 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
131119, 49, 130ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  2
132 leexp2a 11173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) )  <_ 
( 2 ^ -u 1
) )
13349, 131, 132mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d
) )  ->  (
2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_  ( 2 ^
-u 1 ) )
134129, 133syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  <_  ( 2 ^ -u 1 ) )
135 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
136 expn1 11129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ -u 1
)  =  ( 1  /  2 ) )
137135, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u 1 )  =  ( 1  / 
2 )
138134, 137syl6breq 4078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  <_  ( 1  /  2 ) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
140 lemul12a 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  /\  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) )  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
1411403impia 1148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  /\  ( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  /\  (
2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
142103, 112, 113, 139, 141syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
143142ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
144 facp1 11309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( d  +  1 ) )  =  ( ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) ) )
14578, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  (
d  +  1 ) )  =  ( ( ! `  d )  x.  ( d  +  1 ) ) )
146145negeqd 9062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  (
d  +  1 ) )  =  -u (
( ! `  d
)  x.  ( d  +  1 ) ) )
147 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
148 addcom 9014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( d  +  1 )  =  ( 1  +  d ) )
149115, 147, 148sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  =  ( 1  +  d ) )
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  x.  ( 1  +  d ) ) )
151 peano2cn 9000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  CC  ->  (
d  +  1 )  e.  CC )
152115, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  CC )
153114, 152mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  -u (
( ! `  d
)  x.  ( d  +  1 ) ) )
15482zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  d
)  e.  CC )
155147a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
156154, 155, 115adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
1  +  d ) )  =  ( (
-u ( ! `  d )  x.  1 )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
157154mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  1 )  =  -u ( ! `  d )
)
158157oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( -u ( ! `  d )  x.  1 )  +  (
-u ( ! `  d )  x.  d
) )  =  (
-u ( ! `  d )  +  (
-u ( ! `  d )  x.  d
) ) )
159156, 158eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
1  +  d ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
160150, 153, 1593eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
161146, 160eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
162161oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
163 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
16410, 163ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
165 expaddz 11162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  d )  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
166164, 165mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( ! `  d )  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `
 d )  x.  d )  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  +  ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) ) )
16782, 105, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
168162, 167eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
16946adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  CC )
170115, 155, 169addsubd 9194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( d  +  1 )  -  A
)  =  ( ( d  -  A )  +  1 ) )
171170oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  -  A )  +  1 ) ) )
172 uznn0sub 10275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( d  -  A )  e.  NN0 )
173172adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  -  A
)  e.  NN0 )
174 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( d  -  A
)  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  -  A
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
17552, 173, 174sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  -  A
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
176171, 175eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
177176oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
17892rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  CC )
17999rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  CC )
18052a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  CC )
181178, 179, 180mulassd 8874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
182177, 181eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  =  ( ( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
183168, 182breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  <->  ( (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
184143, 183sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) ) )
185 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  d ) )
186185negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  d ) )
187186oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
188 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  _V
189187, 6, 188fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  ( F `  d )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  d ) ) )
19077, 189syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
191 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  d  ->  (
c  -  A )  =  ( d  -  A ) )
192191oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  d  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )
193192oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) ) )
194 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  _V
195193, 71, 194fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  d )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )
196195adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  d
)  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )
197190, 196breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  d )  <_  ( G `  d )  <->  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) ) )
19877peano2nnd 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
199 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( d  +  1 ) ) )
200199negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )
201200oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) ) )
202 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) )  e.  _V
203201, 6, 202fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  ( d  +  1 ) ) ) )
204198, 203syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  (
d  +  1 ) )  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) ) )
205 peano2uz 10288 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( d  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
206 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
c  -  A )  =  ( ( d  +  1 )  -  A ) )
207206oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( ( d  +  1 )  -  A
) ) )
208207oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( ( d  +  1 )  -  A
) ) ) )
209 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) )  e.  _V
210208, 71, 209fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  ( d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
211205, 210syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  ( d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
212211adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  (
d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
213204, 212breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) ) )
214184, 197, 2133imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  d )  <_  ( G `  d )  ->  ( F `  (
d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) )
215214expcom 424 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( F `  d )  <_  ( G `  d
)  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
216215a2d 23 . . . 4  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  e.  NN  ->  ( F `  d )  <_  ( G `  d ) )  -> 
( A  e.  NN  ->  ( F `  (
d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
21724, 28, 32, 36, 76, 216uzind4 10292 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) )
218217impcom 419 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  <_  ( G `  B ) )
219 0xr 8894 . . 3  |-  0  e.  RR*
22071aaliou3lem1 19738 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  B
)  e.  RR )
221 elioc2 10729 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( G `  B )  e.  RR )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  0  < 
( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) ) )
222219, 220, 221sylancr 644 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  B )  e.  ( 0 (,] ( G `
 B ) )  <-> 
( ( F `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( F `
 B )  /\  ( F `  B )  <_  ( G `  B ) ) ) )
22319, 20, 218, 222mpbir3and 1135 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,]cioc 10673   ^cexp 11120   !cfa 11304
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  19740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioc 10677  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305
  Copyright terms: Public domain W3C validator