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Theorem aaliou3lem2 19723
Description: Lemma for aaliou3 19731. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a  |-  G  =  ( c  e.  (
ZZ>= `  A )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) ) )
aaliou3lem.b  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) ) )
Distinct variable groups:    F, c    A, a, c    B, a, c    G, a
Allowed substitution hints:    F( a)    G( c)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables  b 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uznnssnn 10266 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  A )  C_  NN )
21sselda 3180 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
3 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  B  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  B ) )
43negeqd 9046 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  B ) )
54oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) ) )
6 aaliou3lem.b . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
7 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  B ) ) )
92, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) ) )
10 2rp 10359 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
112nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN0 )
12 faccl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ! `
 B )  e.  NN )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  B
)  e.  NN )
1413nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  B
)  e.  ZZ )
1514znegcld 10119 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  B
)  e.  ZZ )
16 rpexpcl 11122 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  B )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  B )
)  e.  RR+ )
1710, 15, 16sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  B )
)  e.  RR+ )
189, 17eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR+ )
1918rpred 10390 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR )
2018rpgt0d 10393 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <  ( F `  B ) )
21 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  b )  =  ( F `  A ) )
22 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  ( G `  b )  =  ( G `  A ) )
2321, 22breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  A )  <_  ( G `  A )
) )
2423imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A )
) ) )
25 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
26 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ( G `  b )  =  ( G `  d ) )
2725, 26breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  d )  <_  ( G `  d )
) )
2827imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  d  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  d )  <_  ( G `  d )
) ) )
29 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( d  +  1 ) ) )
30 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  ( G `  b )  =  ( G `  ( d  +  1 ) ) )
3129, 30breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) )
3231imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
33 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( F `  b )  =  ( F `  B ) )
34 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( G `  b )  =  ( G `  B ) )
3533, 34breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) )
3635imbi2d 307 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) ) )
37 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
38 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
4039nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
4140znegcld 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  A )  e.  ZZ )
42 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
4310, 41, 42sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
4443rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR )
4544leidd 9339 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  <_  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) ) )
46 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
4746subidd 9145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  -  A )  =  0 )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( A  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
49 2re 9815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
50 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5149, 50rereccli 9525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
5251recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
53 exp0 11108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
5548, 54syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( A  -  A ) )  =  1 )
5655oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  1 ) )
5743rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  CC )
5857mulid1d 8852 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  1 )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
5956, 58eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
6045, 59breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) ) )
61 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
6261negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  A ) )
6362oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) ) )
64 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  e.  _V
6563, 6, 64fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
66 nnz 10045 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
67 uzid 10242 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
68 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  A )  =  ( A  -  A ) )
6968oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  A  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  A  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) ) )
71 aaliou3lem.a . . . . . . . 8  |-  G  =  ( c  e.  (
ZZ>= `  A )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) ) )
72 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  e.  _V
7370, 71, 72fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  A )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) ) )
7466, 67, 733syl 18 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) ) )
7560, 65, 743brtr4d 4053 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A
) )
7675a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A ) ) )
771sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  NN )
7877nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  NN0 )
79 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ! `
 d )  e.  NN )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  NN )
8180nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  ZZ )
8281znegcld 10119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  d
)  e.  ZZ )
83 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  d )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR+ )
8410, 82, 83sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR+ )
8584rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR )
8684rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
87 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  NN )
8887nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  NN0 )
8988, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  A
)  e.  NN )
9089nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  A
)  e.  ZZ )
9190znegcld 10119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  A
)  e.  ZZ )
9210, 91, 42sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
93 halfgt0 9932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9451, 93elrpii 10357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
95 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  d  e.  ZZ )
96 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( d  -  A
)  e.  ZZ )
9795, 66, 96syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  -  A
)  e.  ZZ )
98 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
d  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  RR+ )
9994, 97, 98sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  RR+ )
10092, 99rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  e.  RR+ )
101100rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  e.  RR )
10285, 86, 101jca31 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR ) )
103102adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^
-u ( ! `  d ) ) )  /\  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )  e.  RR ) )
10495adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  ZZ )
10582, 104zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  e.  ZZ )
106 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( -u ( ! `  d
)  x.  d )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR+ )
10710, 105, 106sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR+ )
108107rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR )
109107rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <_  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
11051a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
111108, 109, 110jca31 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR ) )
112111adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  /\  ( 1  / 
2 )  e.  RR ) )
113 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  <_  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) ) )
11480nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  CC )
115104zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  CC )
116114, 115mulneg1d 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  =  -u (
( ! `  d
)  x.  d ) )
11780, 77nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  NN )
118117nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
1  <_  ( ( ! `  d )  x.  d ) )
119 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
120117nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  RR )
121 leneg 9277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( ( ! `  d )  x.  d
)  <->  -u ( ( ! `
 d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
122119, 120, 121sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  <_  (
( ! `  d
)  x.  d )  <->  -u ( ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 ) )
123118, 122mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 )
124116, 123eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 )
125 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
126125nn0negzi 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  ZZ
127 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u ( ! `
 d )  x.  d )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <->  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
128105, 126, 127sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u 1  e.  (
ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <->  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
129124, 128mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d
) ) )
130 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
131119, 49, 130ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  2
132 leexp2a 11157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) )  <_ 
( 2 ^ -u 1
) )
13349, 131, 132mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d
) )  ->  (
2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_  ( 2 ^
-u 1 ) )
134129, 133syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  <_  ( 2 ^ -u 1 ) )
135 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
136 expn1 11113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ -u 1
)  =  ( 1  /  2 ) )
137135, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u 1 )  =  ( 1  / 
2 )
138134, 137syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  <_  ( 1  /  2 ) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
140 lemul12a 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  /\  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) )  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
1411403impia 1148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  /\  ( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  /\  (
2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
142103, 112, 113, 139, 141syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
143142ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
144 facp1 11293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( d  +  1 ) )  =  ( ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) ) )
14578, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  (
d  +  1 ) )  =  ( ( ! `  d )  x.  ( d  +  1 ) ) )
146145negeqd 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  (
d  +  1 ) )  =  -u (
( ! `  d
)  x.  ( d  +  1 ) ) )
147 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
148 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( d  +  1 )  =  ( 1  +  d ) )
149115, 147, 148sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  =  ( 1  +  d ) )
150149oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  x.  ( 1  +  d ) ) )
151 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  CC  ->  (
d  +  1 )  e.  CC )
152115, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  CC )
153114, 152mulneg1d 9232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  -u (
( ! `  d
)  x.  ( d  +  1 ) ) )
15482zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  d
)  e.  CC )
155147a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
156154, 155, 115adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
1  +  d ) )  =  ( (
-u ( ! `  d )  x.  1 )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
157154mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  1 )  =  -u ( ! `  d )
)
158157oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( -u ( ! `  d )  x.  1 )  +  (
-u ( ! `  d )  x.  d
) )  =  (
-u ( ! `  d )  +  (
-u ( ! `  d )  x.  d
) ) )
159156, 158eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
1  +  d ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
160150, 153, 1593eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
161146, 160eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
162161oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
163 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
16410, 163ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
165 expaddz 11146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  d )  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
166164, 165mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( ! `  d )  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `
 d )  x.  d )  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  +  ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) ) )
16782, 105, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
168162, 167eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
16946adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  CC )
170115, 155, 169addsubd 9178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( d  +  1 )  -  A
)  =  ( ( d  -  A )  +  1 ) )
171170oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  -  A )  +  1 ) ) )
172 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( d  -  A )  e.  NN0 )
173172adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  -  A
)  e.  NN0 )
174 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( d  -  A
)  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  -  A
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
17552, 173, 174sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  -  A
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
176171, 175eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
177176oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
17892rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  CC )
17999rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  CC )
18052a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  CC )
181178, 179, 180mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
182177, 181eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  =  ( ( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
183168, 182breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  <->  ( (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
184143, 183sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) ) )
185 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  d ) )
186185negeqd 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  d ) )
187186oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
188 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  _V
189187, 6, 188fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  ( F `  d )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  d ) ) )
19077, 189syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
191 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  d  ->  (
c  -  A )  =  ( d  -  A ) )
192191oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  d  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )
193192oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) ) )
194 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  _V
195193, 71, 194fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  d )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )
196195adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  d
)  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )
197190, 196breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  d )  <_  ( G `  d )  <->  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) ) )
19877peano2nnd 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
199 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( d  +  1 ) ) )
200199negeqd 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )
201200oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) ) )
202 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) )  e.  _V
203201, 6, 202fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  ( d  +  1 ) ) ) )
204198, 203syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  (
d  +  1 ) )  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) ) )
205 peano2uz 10272 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( d  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
206 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
c  -  A )  =  ( ( d  +  1 )  -  A ) )
207206oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( ( d  +  1 )  -  A
) ) )
208207oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( ( d  +  1 )  -  A
) ) ) )
209 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) )  e.  _V
210208, 71, 209fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  ( d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
211205, 210syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  ( d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
212211adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  (
d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
213204, 212breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) ) )
214184, 197, 2133imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  d )  <_  ( G `  d )  ->  ( F `  (
d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) )
215214expcom 424 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( F `  d )  <_  ( G `  d
)  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
216215a2d 23 . . . 4  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  e.  NN  ->  ( F `  d )  <_  ( G `  d ) )  -> 
( A  e.  NN  ->  ( F `  (
d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
21724, 28, 32, 36, 76, 216uzind4 10276 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) )
218217impcom 419 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  <_  ( G `  B ) )
219 0xr 8878 . . 3  |-  0  e.  RR*
22071aaliou3lem1 19722 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  B
)  e.  RR )
221 elioc2 10713 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( G `  B )  e.  RR )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  0  < 
( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) ) )
222219, 220, 221sylancr 644 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  B )  e.  ( 0 (,] ( G `
 B ) )  <-> 
( ( F `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( F `
 B )  /\  ( F `  B )  <_  ( G `  B ) ) ) )
22319, 20, 218, 222mpbir3and 1135 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   !cfa 11288
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  19724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioc 10661  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289
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